算法概论 第八章习题

8.3

首先，易知STINGY SAT 的解是可在多项式时间内验证的，因此属于NP。另外，很容易可以将SAT 归约到STINGY SAT（将k 设为所有变量的总个数即可），于是可知STINGY SAT 为NP 完全问题。

8.8

首先很显然，EXACT 4SAT 属于NP。现在通过将3SAT 归约到EXACT 4SAT 来证明后者的NP 完全性。对于任意一个3SAT 实例，如果其中某个子句中包含了同一文字多次，那么可以缩减为一次，如果同时包含了某个变量的肯定及否定，那么可以将这个变量去掉。然后，可以再在每个子句中可以添加一些哑变量（即没用的辅助变量），这样就可以将每个子句所包含的文字数目扩充到四个。至此，即已将该3SAT 实例转化成了一个EXACT 4SAT 问题。

8.9

很容易将最小顶点覆盖归约到HITTING SET。假设要求图G 的最小顶点覆盖，可以建立一个HITTING SET 实例，其中S1 , S2 ，… ， Sn 即是图G的各条边，比如{v1,v2}，{v3,v4}，… 。通过二分式的询问，可以找到一个与Si 都相交的最小集合H ，这正好就是图G 的最小顶点覆盖。

8.10

a) 令图G 为一个环，环上的顶点数等于图H 的顶点数。那么若G 是H 的同构子

图，则说明H 存在Rudrata 回路。于是知Rudrata 回路事实上是子图同构问题的

一个特例。

b) 如果令g = V −1，即得到一条 Rudrata 路径。

c) 令 g 为子句的总数，即成SAT。

d) 令b = a(a-1) / 2 ，此时这a 个顶点两两相连，于是即成最大团问题。

e) 令b = 0，即成最大独立集问题。

f) 显然是最小顶点覆盖的一个推广。

g) Hint 中所描述的特例即是一个TSP。

8.12

a) 显然 k -SPANNING TREE 问题是可在多项式时间内验证的，因此是搜索问题。

b) 若k = 2，此时的2 -SPANNING TREE 实际上就是一条 Rudrata 路径。另外，这里好像有点问题，不知道我是否理解错了意思，因为当k ≥ V 时，显然只要一

次DFS 就能找出解。

8.14

可以将最大团问题归约到此问题。假设要求任意图G(V, E)中大小为k 的团，可以在图G 中添加k 个相互独立的顶点，得到新图G’。这新加的k 个顶点保证了图G’存在大小为k 的独立集，同时又不影响到原图的团。

8.15

可以将最大独立集问题归约到此问题。比如若要求任意图G(V, E)中大小为d 的独

立集，可以令 G1= G (V, E) ，再令 G2 (V,∅) 的顶点集与G 相同，但是边集为空，

也即是各个顶点相互独立。于是 G1 与 G2 存在着大小为d 的公共子图，当且仅当图G存在着大小为d 的独立集。

8.16

考虑怎么把一个3SAT 实例转化成一个EXPERIMENTAL CUISINE 问题：对于任意一个 3SAT 问题，若其某一子句c 为(U ∨V ∨W)，我们可以相应地建立 7 种ingredients，分别为{U~V~Wc, ~UV~Wc, ~U~VWc, UV~Wc, ~UVWc, U~VWc, UVWc } 。这7 种ingredients 代表了使得子句c 成立的七种不同情况，比如UW~Vc 代表U 和W 同时为真，且V 为假。它们之间当然是完全不兼容的，因此将其中两两之间的discord 值设为1。现在再考虑子句与子句之间的情况，对于任意两子句i 和j ，将这两个子句中相矛盾的成分之间的discord 值设为1，比如UABi 与~UCDj 等。设子句总数为n ，再令 p = 0，若此时能选择的成份数为n，那么即说明此 3SAT 能满足。另外，判断一个3SAT 是否能满足与找出这个3SAT 的解实际上是等价的，因此若EXPERIMENTAL CUISINE 在多项式时间内可解的话，3SAT 亦然。

8.19

可以将团问题归约到 KITE 问题。若要求图G(V, E)的最大团，类似于 Ex.8.14，可

以在图G 中添加V 个新顶点，并将每个新顶点都连向原图中不同的某个顶点，共

形成了V 条新边，这样就得了一个新图G’。容易看出，在G’中存在大小为2g的

kite 当且仅当G 中存在大小为g 的团。

8.20

可以将顶点覆盖问题归约到支配集问题。若要在图G(V, E)中求得不大于b的一个顶点覆盖，可以先对图G 做一个预处理：对每条边(u,v)∈E ，添加一个辅助顶点w，及两条边(u,w)和(v,w)，如下图所示：



对每条边都这样处理后得到一个新图G’。容易看出，若原图G 中存在不大于b 的顶点覆盖，这个顶点覆盖也是新图G’的一个支配集。反过来，若新图G’中存在一个不大于b 的支配集，那么对这个支配集进行一些处理后也能得到一个图G 的不大于b 的顶点覆盖。处理过程如下：设该支配集为D，对于每条边(u,v)及相应的辅助顶点w，若w∉D ，则不用做任何处理，若w∈D 且u,v∉D，那么可以在D中将w替换成u 或v，若w∈D 同时u∈D∨ v∈D，则直接将w从D中删掉即可。

8.22

a) 显然 FAS 是可在多项式时间内验证的，因此属于NP。

b) 设G 的一个大小为b 的顶点覆盖为C ，对于任意顶点vi ∈C ，设其在G’中相对应的顶点为 wi 和 wi’ ，则将边( wi, wi’) 添加到E’。对C中的每个顶点都这样处理后，所得到的边集E ‘即是G’的一个大小为b 的 feedback arc set。因为对于顶点 wi 和 wi’ ，当去掉边( wi, wi’) 后，所有与 wi 相连的边都不可能位于任何一个环中，因为 wi 不存在出边，同样，所有与 wi’ 相连的边也不可能位于任何一个环中，因为 wi’ 不存在入边。

c) 对于G 中的任意一条边( vi, vj )，设其在G’中相对应的顶点为 wi 、wi’ 、wj 、 wj’ ，相对应的边为( wi, wi’) 、( wj, wj’) 、( wi’,wj ) 、( wj’,wi ) 。若E ‘是G’的一个大小为b 的 feedback arc set，显然，在这四条边中至少有一条边e属于E ‘，否则就会形成环，而边e必然有个端点属于{ wi,wj } 。若 wi 是e 的端点，则将 vi加入到C ，否则将 vj 加入到C 。容易看出，在经过上述处理后，C 即是G 的一个大小不超过b 的顶点覆盖。

8.23

在提示的基础上再做以下处理：对任意子句c = (l1 ∨ l2 ∨ l3) ，分别将 sc 与li 、li 与tc连结起来形成三条路径，因为任意 li 为真都使得c 为真。另外，对于每个变量v ，将 sv 与所有v 串联起来，再连向tv ，从而形成一条路径，再将sv 与所有~v 串联起来，连向 tv ，又形成一条路径。
8b56
在这两条路径中，必然要选择其中一条，这保证了所有变量的一致性，即如果有任意子句选择了v ，则其余子句就不能再选择v 。下面举一个简单的例子，假设要验证 CNF：(x ∨ y ∨ z)(x ∨ y ∨ z )是否可以被满足，令u = ( x ∨ y ∨ z)，v = (x ∨ y ∨ z )，可得 NODE-DISJOINT PATH 问题如下图：