排序(四)堆排序
2018-01-12 18:01
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参考文章:
https://www.cnblogs.com/chengxiao/p/6129630.html
堆排序:
堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法,堆排序是一种选择排序
堆具有以下性质:
是完全二叉树:若设二叉树的深度为h,除第 h 层外,其它各层 (1~h-1) 的结点数都达到最大个数,第 h 层所有的结点都连续集中在最左边,这就是完全二叉树
每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值,称为大顶堆;或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值,称为小顶堆。如下图:
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算法分析:
时间复杂度:最好最坏均是O(nlogn)
堆排序的时间复杂度,主要在初始化堆过程和每次选取最大数后重新建堆的过程;
初始化建堆过程时间:O(n)
假设高度为k,则从倒数第二层右边的节点开始,这一层的节点都要执行子节点比较然后交换(如果顺序是对的就不用交换);倒数第三层呢,则会选择其子节点进行比较和交换,如果没交换就可以不用再执行下去了。如果交换了,那么又要选择一支子树进行比较和交换;
那么总的时间计算为:s = 2^( i - 1 ) * ( k - i );其中 i 表示第几层,2^( i - 1) 表示该层上有多少个元素,( k - i) 表示子树上要比较的次数,如果在最差的条件下,就是比较次数后还要交换;因为这个是常数,所以提出来后可以忽略;
S = 2^(k-2) * 1 + 2^(k-3)*2.....+2*(k-2)+2^(0)*(k-1) ===> 因为叶子层不用交换,所以i从 k-1 开始到 1;
等式左右乘上2,然后和原来的等式相减,就变成了:
S = 2^(k - 1) + 2^(k - 2) + 2^(k - 3) ..... + 2 - (k-1)
除最后一项外,就是一个等比数列了,直接用求和公式:S = { a1[ 1- (q^n) ] } / (1-q);
S = 2^k -k -1;又因为k为完全二叉树的深度,所以 (2^k) <= n < (2^k -1 ),总之可以认为:k = logn (实际计算得到应该是 log(n+1) < k <= logn );
综上所述得到:S = n - longn -1,所以时间复杂度为:O(n)
更改堆元素后重建堆时间:O(nlogn)
循环 n -1 次,每次都是从根节点往下循环查找,所以每一次时间是 logn,总时间:logn(n-1) = nlogn - logn ;
综上所述:堆排序的时间复杂度为:O(1) 就地排序
空间复杂度:O(nlogn)
稳定性:不稳定
应用:
算法优化:
https://www.cnblogs.com/chengxiao/p/6129630.html
堆排序:
堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法,堆排序是一种选择排序
堆具有以下性质:
是完全二叉树:若设二叉树的深度为h,除第 h 层外,其它各层 (1~h-1) 的结点数都达到最大个数,第 h 层所有的结点都连续集中在最左边,这就是完全二叉树
每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值,称为大顶堆;或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值,称为小顶堆。如下图:
/** * 堆排序 * 时间复杂度nlog2n * 空间复杂度o(1) * */ public static void heapSort(int[] arr){ //1.构建大顶堆 for(int i=arr.length/2-1;i>=0;i--){ //从第一个非叶子结点从下至上,从右至左调整结构 adjustHeap(arr,i,arr.length); } //2.调整堆结构+交换堆顶元素与末尾元素 for(int j=arr.length-1;j>0;j--){ swap(arr,0,j);//将堆顶元素与末尾元素进行交换 adjustHeap(arr,0,j);//重新对堆进行调整 } } /** * 调整大顶堆(仅是调整过程,建立在大顶堆已构建的基础上) * @param arr * @param i * @param length */ public static void adjustHeap(int []arr,int i,int length){ int temp = arr[i];//先取出当前元素i for(int k=i*2+1;k<length;k=k*2+1){//从i结点的左子结点开始,也就是2i+1处开始 if(k+1<length && arr[k]<arr[k+1]){//如果左子结点小于右子结点,k指向右子结点 k++; } if(arr[k] >temp){//如果子节点大于父节点,将子节点值赋给父节点(不用进行交换) arr[i] = arr[k]; i = k; }else{ break; } } arr[i] = temp;//将temp值放到最终的位置 } /** * 交换元素 * @param arr * @param a * @param b */ public static void swap(int []arr,int a ,int b){ int temp=arr[a]; arr[a] = arr[b]; arr[b] = temp; }
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算法分析:
时间复杂度:最好最坏均是O(nlogn)
堆排序的时间复杂度,主要在初始化堆过程和每次选取最大数后重新建堆的过程;
初始化建堆过程时间:O(n)
假设高度为k,则从倒数第二层右边的节点开始,这一层的节点都要执行子节点比较然后交换(如果顺序是对的就不用交换);倒数第三层呢,则会选择其子节点进行比较和交换,如果没交换就可以不用再执行下去了。如果交换了,那么又要选择一支子树进行比较和交换;
那么总的时间计算为:s = 2^( i - 1 ) * ( k - i );其中 i 表示第几层,2^( i - 1) 表示该层上有多少个元素,( k - i) 表示子树上要比较的次数,如果在最差的条件下,就是比较次数后还要交换;因为这个是常数,所以提出来后可以忽略;
S = 2^(k-2) * 1 + 2^(k-3)*2.....+2*(k-2)+2^(0)*(k-1) ===> 因为叶子层不用交换,所以i从 k-1 开始到 1;
等式左右乘上2,然后和原来的等式相减,就变成了:
S = 2^(k - 1) + 2^(k - 2) + 2^(k - 3) ..... + 2 - (k-1)
除最后一项外,就是一个等比数列了,直接用求和公式:S = { a1[ 1- (q^n) ] } / (1-q);
S = 2^k -k -1;又因为k为完全二叉树的深度,所以 (2^k) <= n < (2^k -1 ),总之可以认为:k = logn (实际计算得到应该是 log(n+1) < k <= logn );
综上所述得到:S = n - longn -1,所以时间复杂度为:O(n)
更改堆元素后重建堆时间:O(nlogn)
循环 n -1 次,每次都是从根节点往下循环查找,所以每一次时间是 logn,总时间:logn(n-1) = nlogn - logn ;
综上所述:堆排序的时间复杂度为:O(1) 就地排序
空间复杂度:O(nlogn)
稳定性:不稳定
应用:
算法优化:
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