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读书笔记: 博弈论导论 - 10 - 完整信息的动态博弈重复的博弈

2018-01-12 14:30 302 查看

读书笔记: 博弈论导论 - 10 - 完整信息的动态博弈重复的博弈

重复的博弈(Repeated Games)

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。

有限地重复的博弈

有限地重复的博弈(Finitely Repeated Games)

给定一个阶段博弈$G$，一个有限地重复的博弈被记做$G(T, \delta)$，其中阶段博弈$G$被连续进行了T次，$\delta$是公共折扣因子。

推论 10.1

如果有限重复博弈的阶段博弈有一个唯一的纳什博弈，

则这个有限重复博弈有一个唯一的子博弈精炼均衡。

现值(present value)

在一个无限队列的收益$ { v_i }_{i=1}^{\infty}$中，玩家i的现值是

\[
v_i = \sum_{t=1}^{\infty} \delta^{t-1} v_i^t \\
where \\
0 < \delta < 1
\]

平均收益(average payoff)

在一个无限队列的收益$ { v_i }_{i=1}^{\infty}$中，玩家i的现值是

\[
\bar{v_i} = (1 - \delta) \sum_{t=1}^{\infty} \delta^{t-1} v_i^t \\
where \\
\delta < 1
\]

策略

在一个无限重复博弈中，$H_t$代表长度为t的所有可能历史的集合。

$h_t \in H_t$是一种历史。

$H = \cup_{t=1}^{\infty} H_t$为所有可能历史的集合。

玩家i的一个纯策略是一个映射$s_i: H \to S_i$，映射历史到这个阶段博弈的行动。

玩家i的一个行为策略一个映射$\sigma_i: H \to \Delta S_i$，映射历史到这个阶段博弈的行动的随机选择。

子博弈精炼均衡(Sub-game-perfect equilibria)

一个纯博弈组合$(s_1^*(\cdot), s_2^*(\cdot), \cdots, s_n^*(\cdot)), s_i: H \to S_i, \forall i \in N$是一个子博弈精炼均衡，

如果在每一个子博弈中，$(s_1^*(\cdot), s_2^*(\cdot), \cdots, s_n^*(\cdot))$的约束都是一个纳什均衡。

推论 10.2

一个无限重复博弈$G(\delta), \delta < 1$，其阶段博弈G的一个（静态）纳什均衡$(\sigma_1^*, \sigma_2^*, \cdots, \sigma_n^*)$。

定义这个重复博弈的每个玩家i的策略为不依赖历史的纳什策略，$\sigma_i^*(h) = \sigma_i^*, \forall h \in H$，

则$(\sigma_1^*(h), \sigma_2^*(h), \cdots, \sigma_n^*(h))$为这个重复博弈的一个子博弈精炼均衡。

不依赖历史的无限重复博弈中阶段博弈，其纳什均衡就是重复博弈的子博弈精炼均衡。

推论 10.3

在一个无限重复博弈$G(\delta)$中，一个策略组合是一个子博弈精炼均衡，

当且仅当不存在玩家i在其单个历史$h_{t-1}$中，可以从$s_i(h_{t-1})$偏离中获得更多的收益。

凸组合(convex combination)

给定两个矢量$v = (v_1, v_2, \cdots, v_n)$和$v’ = (v‘_1, v’_2, \cdots, v‘_n)$，

$\hat{v} = (\hat{v}_1, \hat{v}_2, \cdots, \hat{v}_n)$是一个凸组合(convex combination)，

如果$\hat{v} = \alpha v + (1 - \alpha) \hat{v}, \alpha \in [0, 1]$或者说$\hat{v}_i = \alpha v_i + (1 - \alpha) \hat{v}_i, \forall i \in [1, \cdots, n]$

从几何上说凸组合位于两个点之间线段上的任意点。

凸包(convex hull)

给定一组矢量$V = \{v^1, v^2, \cdots, v^k \}$，则V的凸包(convex hull)为：

\[
CoHull(V) = \{ \\
v = \sum_{j=1}^k \alpha_j v^j \\
where \\
v \in \mathbb{R}^n, \\
\exists (\alpha_1, \cdots, \alpha_k) \in R_+^n, \\ \sum_{j=1}^k \alpha_j = 1\\
\}
\]

几何上的理解为：

当n = 2（矢量的维度是2）时，

两个点的凸包就是两个点之间线段;

多个点的凸包就是多个点之间组成的平面;

当n > 2（矢量的维度 > 2）时，

两个点的凸包就是两个点之间线段;

多个点的凸包就是多个点之间组成的多维空间（维度为$m \leq n \ \land \ m \leq k - 1$）。

可行收益(feasible payoffs)

一个博弈的所有收益的凸包为可行收益的集合。

大众定理(the folk theorem)

$G(\delta)$为一个有限，同时选择的完整信息博弈，

$v^* = (v_1^*, \cdots, v_n^*)$为博弈G的一个纳什均衡的收益，也是G的可行收益。

如果存在$v_i > v_i^*, \forall i \in N, \delta$为一个足够接近1的值，

则对于$G(\delta)$的无限重复博弈，存在一个子博弈精炼均衡，其平均收益接近于$v = (v_1, \cdots, v_n)$。

大众定理由于是多人贡献，也搞不清是那些人，而得名。

参照

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