Bzoj4816: [Sdoi2017]数字表格
2018-01-12 09:42
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戳我Sol
摆公式:\(ans=\Pi_{i=1}^{n}\Pi_{j=1}^{m}f[gcd(i, j)]\)
考虑每个gcd的贡献,设n < m
则就是\(\Pi_{d=1}^{n}\Pi_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\Pi_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}f[d]*[gcd(i, j)==1]\)
\(=\Pi_{d=1}^{n}f[d]^{\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}[gcd(i, j)==1]}\)
那个指数幂就是\(\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu[i]*\lfloor\frac{n}{di}\rfloor*\lfloor\frac{m}{di}\rfloor\)
但指数取模1e9+7显然不行,所以要用到一个欧拉的定理
降幂法
如果直接这样搞加了数论分块也会TLE飞
所以考虑把式子变形一下:\(di换成k\)
\(\Pi_{k=1}^{n}\Pi_{d|k} f[d]^{\mu[\frac{k}{d}]\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\lfloor\frac{m}{k}\rfloor}\)
把\(\Pi_{d|k} f[d]^{\mu[\frac{k}{d}]}\)预处理出来就好 以为可以筛想了好久
# include <bits/stdc++.h> # define RG register # define IL inline # define Fill(a, b) memset(a, b, sizeof(a)) using namespace std; typedef long long ll; const int _(1e6 + 1), Zsy(1e9 + 7); IL ll Read(){ char c = '%'; ll x = 0, z = 1; for(; c > '9' || c < '0'; c = getchar()) if(c == '-') z = -1; for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = x * 10 + c - '0'; return x * z; } int prime[_], num, mu[_], g[_], f[_], s[_]; bool isprime[_]; IL int Pow(RG ll x, RG ll y){ RG ll ret = 1; for(; y; y >>= 1, x = x * x % Zsy) if(y & 1) ret = ret * x % Zsy; return ret; } IL void Prepare(){ isprime[1] = 1; mu[1] = f[1] = g[1] = s[1] = s[0] = 1; for(RG int i = 2; i < _; ++i){ if(!isprime[i]){ prime[++num] = i; mu[i] = -1; } for(RG int j = 1; j <= num && i * prime[j] < _; ++j){ isprime[i * prime[j]] = 1; if(i % prime[j]) mu[i * prime[j]] = -mu[i]; else{ mu[i * prime[j]] = 0; break; } } f[i] = (f[i - 1] + f[i - 2]) % Zsy; g[i] = Pow(f[i], Zsy - 2); s[i] = 1; } for(RG int i = 1; i < _; ++i){ if(!mu[i]) continue; for(RG int j = i, t = 1; j < _; j += i, ++t) s[j] = 1LL * s[j] * ((mu[i] == 1) ? f[t] : g[t]) % Zsy; } for(RG int i = 1; i < _; ++i) s[i] = 1LL * s[i] * s[i - 1] % Zsy; } int main(RG int argc, RG char *argv[]){ Prepare(); for(RG ll T = Read(), n, m, ans; T; --T){ n = Read(); m = Read(); ans = 1; if(n > m) swap(n, m); for(RG ll k = 1, j; k <= n; k = j + 1){ j = min(n / (n / k), m / (m / k)); ans = 1LL * ans * Pow(1LL * s[j] * Pow(s[k - 1], Zsy - 2) % Zsy, 1LL * (n / k) * (m / k) % (Zsy - 1)) % Zsy; } printf("%lld\n", ans); } return 0; }
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