[生成函数阶段性小结][CF891E]Lust

问题描述

给你一个长度为n的数组a[]，还有操作数K，每次操作你在下标[1..n]中等概率选择一个下标x，贡献+=∏i!=xa[i]，然后a[x]-=1。求K次操作后贡献期望值，对1e9+7取模。

n<=5000,K<=1e9

问题分析

首先期望可以看作是所有方案的贡献除以方案数。

我们看到那个∏不能算x，这不利于我们化式子，直接这样根本没有思路。

我们稍微化一化：∏ia[i]−∏i!=xa′[i]，其中a’为a[x]-=1后的序列。

我们观察连续几次相减，发现中间的项全部被消掉了。

那么设b[i]表示i这个位置被删了b[i]次。那么一种方案的贡献就是∏a[i]−∏(a[i]−b[i])。

那么E(贡献)=∏ai−K!∏(ai−bi)nk。

其中b[i]要枚举所有情况。K!表示，当b[]确定时，每次操作的x的顺序有K!。

那么问题变成了怎么把所有b[]的情况的贡献计算出来。

生成函数

一般生成函数

记A(x)=∑n≥0aixi为原序列a[]的一个生成函数，由于一般使用生成函数，我们是用来化简一些转移的，所以并不关心x的具体值是什么，我们只关注系数。

就比如背包问题，把记录当前做到的每种体积的方案的数组f[]变成生成函数，我们和一个物品的生成函数相乘，即可得到转移过后的f[]的生成函数。

上面这种转移我们从多项式的角度理解，即卷积，写过FFT的人应该都能理解。

生成函数的笛卡尔积就是两个生成函数A和B的卷积。

生成函数的优美在于，可以把一些特殊的形式幂级数化为一个低次的式子.

比如A(x)=1+x+x2+...x+∞=11−x，这是等比数列求和，由于正无穷的项的系数我们不会用到，所以忽略了。

这样，几个多项式相乘的形式就可能很简单，也是我们做题的关键，即把答案的生成函数做出来，然后就可以展开得出系数，这道题就是一个应用。

几个重要的式子

OGF的：

11−x=∑i≥0xi

11−axm=∑i≥0Cm−1i+m−1aixi

这个怎么理解呢？考虑一个背包问题，组合数的意义是i的体积可以由m种球共i个（体积为1）组成；a为某个系数，其实可以把a和x放在一起，就跟第一个式子一样了。

特别地，x(1−x)2=∑i≥1i∗xi

分子的x相当于把原序列右移一位。

EGF（指数型）的，也就是形如A(x)=∑i≥0aii!xi，实际操作的时候我们储存的系数是aii!

ex=∑i≥0xii!

ln(1+x)=∑i>0(−1)i+1xii

−ln(1−x)=∑i>0xii

记住就好。后面两个没有0可以理解为不能被0除。

十分脑洞地，我们上面的x可以代表一个多项式，那么就可以出现非常好玩的情况。

比如A(x)=∑i≥0xii!=ex，B(x)=∑i>0(−1)i+1xii=ln(1+x)，那么A(x)B(x)=1+x。

EGF有一个模型是带标号的对象拼接，这个先不写了，还没做到。

有了这些知识，我们可以轻松解决这道题了！

回到题目

E(贡献)=∏ai−K!∏(ai−bi)nk

我们只用算后面那一块。

首先算(ai-bi)那块。

我们先分析某个位置i，我们设生成函数Fi(x)代表a[i]减去某个b[i]的贡献，我们要表示他的全部情况，不妨设Fi(x)=∑j≥0ai−jj!xj，第j次的系数就是b[i]=j这一位的贡献。

推式子

Fi(x)=∑j≥0ai−jj!xj

=∑j≥0aij!xj−1(j−1)!xj

注意到ai是常数。

=(ai−x)ex

那么所有的贡献和就是所有生成函数乘起来。

Ftot=enx∏i(ai−x)。

分别考虑左右某一项的系数，左边是熟知的形式，右边可以暴力卷积，（像背包一样做）。设右边的第i项系数为c[i]，那么答案变成∑i=0..nc[i]∗nK−ii!，i到n为止就行了，c只有0~n有东西。

带回去，∑i=0..nc[i]∗Ki↓ni，Ki↓表示∏j=K..K−i+1j。

那么答案就出来了。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
#define fo(i,j,k) for(i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(i=j;i>=k;i--)
#define cmax(a,b) (a=(a>b)?a:b)
#define cmin(a,b) (a=(a<b)?a:b)
const int N=5e3+5,mo=1e9+7,M=2e5+5;
int read()
{
int x=0;
char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
while (ch>='0'&&ch<='9')
{
x=x*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
return x;
}
int n,K,a
,F
,G
,rev
,fac
,ans,i,j,prod,In;
int ksm(int x,int y)
{
int ret=1;
while (y)
{
if (y&1) ret=1ll*ret*x%mo;
y>>=1;
x=1ll*x*x%mo;
}
return ret;
}
int dwm(int x,int y)
{
int ret=1;
while (y--)
{
ret=1ll*ret*x%mo;
x--;
}
return ret;
}
int main()
{
freopen("t4.in","r",stdin);
//freopen("t4.out","w",stdout);
scanf("%d %d",&n,&K);
fo(i,1,n) scanf("%d\n",a+i);
F[0]=1;
fo(i,1,n)
{
fd(j,i,1)
F[j]=(1ll*F[j]*a[i]-F[j-1])%mo;
F[0]=1ll*F[0]*a[i]%mo;
}
In=1;
fo(i,0,n)
{
ans=(ans+1ll*F[i]*dwm(K,i)%mo*ksm(In,mo-2))%mo;
In=1ll*In*n%mo;
}
prod=1;
fo(i,1,n) prod=1ll*prod*a[i]%mo;
ans=(prod-ans)%mo;
printf("%d\n",(ans+mo)%mo);
}