浅谈决策单调性在1D1D动态规划中的运用

转自alan_cty

1D1D动态规划是指状态数为O(n)，每个状态的决策数为O(n)，直接求解的复杂度为O(n^2)的动态规划方程。但这种方程往往都能够通过一些合理的组织和决策优化到O(n log n)甚至O(n)的。

由于博主比较弱所以只分析下面几种情况（其他的等会了有时间再补）

1.斜率优化

很奇怪我最开始接触的竟然是这个效率最高的但适用性最窄的优化

具体来讲，每一个决策可以看做一个二维平面上的点，某两个决策的优劣性可以通过他们之间的斜率得出

并且随着决策的不断进行，我们所用来比较的斜率也是单调变化的

这样我们就可以把决策点做成一个凸包，用单调队列维护就可以了

2.CDQ分治

既然我们已经知道了决策时单调的，如果我们一个决定决策的复杂度不高，并且不依赖于其他的决策，那么我们可以分治进行。

具体来说，我们每次暴力找出mid处的决策点，然后分治左右区间进行，这样就减少了每次决策的复杂度。

但这种做法的适用性也不高，如果你一个决策的决定依赖于其他决策，那么就GG了。

3.决策单调性

终于讲到我主要想讲的东西了

假入我们只知道最简单的一个性质，就是决策单调性，那么我们要怎么做？

我们先来看一个实例：

最开始我们已经确定了1号点的状态，那么全局的决策就变成了：

11111111111111（这里的每个数字表示每个点的决策点）

那么我们就可以得出2号点的状态，接着它对全局的影响：

11111111222222

接下来3号点的状态我们也可以得出，假如它对全局的影响是

11111111222222

33333333333

我们可以发现，最终我们的全局决策会变为：

11133333333333

就是决策2已经没有用了！

做法

维护一个队列，维护当前的每一个决策，相邻的两个决策所能控制的区间相接。

那么我们从队尾往前依次比较每一个决策点，如果当前决策在全局看来都比队尾决策优，那么队尾决策就是没有用的，出队。

否则我们就要二分一个转折点，表示从这个转折点开始，新决策比队尾决策优，然后将新决策入队。

这样我们就做到O(n log n)来维护每一个决策点对于全局的影响。

注意如果队头能影响的区间已经决策完了，那么队头出队。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,b,a) for(int i=b;i>=a;--i)
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
using namespace std;
typedef long long ll;
char ch;
int read(){int n=0,p=1;for(ch=getchar();ch<'0' || ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-') p=-1;for(;'0'<=ch && ch<='9';ch=getchar()) n=n*10+ch-'0';return n*p;}
const int N=5e5+5;
int n,c;
struct node
{
int l,r,id;
node(int _l=0,int _r=0,int _id=0):l(_l),r(_r),id(_id){}
}q
;
ll s
,f
;
ll sqr(ll x){return x*x;}
ll calc(int j,int i){return f[j]+sqr(s[i]-s[j]-c);}
int find(node p,int i)
{
int l=p.l,r=p.r+1;
while(l<r)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(calc(i,mid)<calc(p.id,mid)) r=mid;
else l=mid+1;
}
return l;
}
void dp()
{
int head=1,tail=1;
q[1]=node(1,n,0);
fo(i,1,n)
{
if(i>q[head].r) ++head;
f[i]=calc(q[head].id,i);
if(head>tail) q[++tail]=node(i+1,n,i);
else
if(calc(i,n)<calc(q[tail].id,n))
{
while(head<=tail && calc(i,q[tail].l)<calc(q[tail].id,q[tail].l)) --tail;
int t=find(q[tail],i);
q[tail].r=t-1;
q[++tail]=node(t,n,i);
}
}
}
int main()
{
n=read(),c=read();++c;
fo(i,1,n) s[i]=s[i-1]+read();
fo(i,1,n) s[i]+=i;
dp();
printf("%lld",f
);
return 0;
}