P1595 信封问题

题目描述

某人写了n封信和n个信封，如果所有的信都装错了信封。求所有信都装错信封共有多少种不同情况。

输入输出格式

输入格式：

一个信封数n（n<=20）

输出格式：

一个整数，代表有多少种情况。

输入输出样例

输入样例#1：

2

输出样例#1：

1

输入样例#2：

3

输出样例#2：

2

裸数学题，推出递推公式就结束了，long long都不用，用搜索（或者手算）算出前三项就没了

推导过程：

原文链接

全错位排列：即被著名数学家欧拉(Leonhard Euler，1707－1783)称为组合数论的一个妙题的“装错信封问题”。
> 大意如下：
一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？
分析：
假设有信封A,B,C,D...；信件1,2,3,4...；全部装错有f(n)种情况。
这里分两种情况考虑:①前面n-1个信封全部装错；②前面n-1个信封有一个没有装错其余全部装错。
①前面n-1个信封全部装错：因为前面n-1个已经全部装错了，所以第n封只需要与前面任一一个位置交换即可，总共有f(n-1)*(n-1)种情况。
②前面n-1个信封有一个没有装错其余全部装错：为什么考虑这种情况，因为n-1个信封中如果有一个没装错，那么我们把那个没装错的与n交换，即可得到一个全错位排列情况。
得到这种情况的种数也很简单，即是忽略掉那个没装错的情况去排列其他的信封的全错排种数f(n-2)*(n-1)。

#include <iostream>
using namespace std;
int dfs(int n)
{
if(n==0)
return 0;
if(n==1)
return 0;
if(n==2)
return 1;
return (n-1)*(dfs(n-1)+dfs(n-2));
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
cout<<dfs(n);
return 0;
}