杭二集训 diyiti (CF GYM 101597A)
2018-01-09 19:58
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标签:数论,分治
1.1 backgrounds
小O是一个很萌很萌的女孩子
1.2 content
作为一个很萌很萌的女孩子,小O有很多很多美丽的宝石。 有一天,小O将她的宝石排成了一排一共n堆,第一堆有1个宝石,之后 每一堆的宝石数目是前一堆的两倍。 但是小O发现她的宝石不够用了,于是小O决定将每堆的宝石数量对一 个正整数M取模。 趁小O出去玩的时候,小Y偷偷地把这n堆宝石的顺序打乱了。 现在小O想把这些珠子变回原来的顺序。 小O想知道M最小是多少。 数据保证一定有解。
1.3 input format
第一行包含一个整数n 第二行n个整数ai,表示打乱顺序后第i堆宝石的数量。
1.4 output format
一行一个正整数M,表示答案。
1.5 sample input
5
1 2 3 4 8
1.6 sample output
13
1.7 constraints
对于20% 的数据,保证n ≤ 10
对于另外30%的数据,保证答案一定为奇数。
对于100% 的数据,1 ≤ n ≤ 2×10^5 , 0 ≤ ai ≤ 10^18
还有人暴力+随机化判断是否合法AC的(早知道我也去试试运气了,貌似大概率正确)
首先令M=2p∗q(p可以为0,q为奇数)
假设M中含有因子2。
那么ai中除了1,其他数均为偶数。(觉得不显然的可以手动弄几个M玩一玩)
那么我们把这个1去掉,并且其他数全除以2,那么就变成了一个n=n-1,M=M/2的子问题。
经过一番操作,变成了一个M为奇数的问题。
对于M是奇数,我们找出ai中最大的奇数,最大的偶数以及次大的偶数。
然后将(偶数*2-奇数)作为M check一下,取最小的合法M。
为什么这样做:
我们考虑一下模M意义下,宝石堆的宝石数是怎么样的。
大约长这样
b1 b1*2 b1*4 …… b2 b2*2 b2*4 ……
其中 bi=b[i-1]*2^x-M
我们按有没有撞顶分成若干个子列。
那么每个奇数就是每个子列的第一个。
我们找出最大的奇数,那么考虑这个奇数是怎么来的。
显然是由它前面一个子列的末尾那个偶数*2-M得到的。
并且那个偶数一定是最大或者次大。(可以想一想为什么)
题目
题目传送门1.1 backgrounds
小O是一个很萌很萌的女孩子
1.2 content
作为一个很萌很萌的女孩子,小O有很多很多美丽的宝石。 有一天,小O将她的宝石排成了一排一共n堆,第一堆有1个宝石,之后 每一堆的宝石数目是前一堆的两倍。 但是小O发现她的宝石不够用了,于是小O决定将每堆的宝石数量对一 个正整数M取模。 趁小O出去玩的时候,小Y偷偷地把这n堆宝石的顺序打乱了。 现在小O想把这些珠子变回原来的顺序。 小O想知道M最小是多少。 数据保证一定有解。
1.3 input format
第一行包含一个整数n 第二行n个整数ai,表示打乱顺序后第i堆宝石的数量。
1.4 output format
一行一个正整数M,表示答案。
1.5 sample input
5
1 2 3 4 8
1.6 sample output
13
1.7 constraints
对于20% 的数据,保证n ≤ 10
对于另外30%的数据,保证答案一定为奇数。
对于100% 的数据,1 ≤ n ≤ 2×10^5 , 0 ≤ ai ≤ 10^18
分析
考试的时候我乱搞竟然得了80pts,震惊还有人暴力+随机化判断是否合法AC的(早知道我也去试试运气了,貌似大概率正确)
首先令M=2p∗q(p可以为0,q为奇数)
假设M中含有因子2。
那么ai中除了1,其他数均为偶数。(觉得不显然的可以手动弄几个M玩一玩)
那么我们把这个1去掉,并且其他数全除以2,那么就变成了一个n=n-1,M=M/2的子问题。
经过一番操作,变成了一个M为奇数的问题。
对于M是奇数,我们找出ai中最大的奇数,最大的偶数以及次大的偶数。
然后将(偶数*2-奇数)作为M check一下,取最小的合法M。
为什么这样做:
我们考虑一下模M意义下,宝石堆的宝石数是怎么样的。
大约长这样
b1 b1*2 b1*4 …… b2 b2*2 b2*4 ……
其中 bi=b[i-1]*2^x-M
我们按有没有撞顶分成若干个子列。
那么每个奇数就是每个子列的第一个。
我们找出最大的奇数,那么考虑这个奇数是怎么来的。
显然是由它前面一个子列的末尾那个偶数*2-M得到的。
并且那个偶数一定是最大或者次大。(可以想一想为什么)
code
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++) #define dep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--) #define ll long long #define mem(x,num) memset(x,num,sizeof x) #define reg(x) for(int i=last[x];i;i=e[i].next) using namespace std; inline ll read() { ll f=1,x=0;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } const int maxn=3e5+6; ll a[maxn],b[maxn],c[maxn],ans; int vis[maxn],n,m=0; bool ok(ll ans){ c[1]=1%ans; rep(i,2,n)c[i]=(c[i-1]*2)%ans; sort(c+1,c+n+1); rep(i,1,n) if(a[i]!=c[i])return 0; return 1; }//判断当前答案是否合法 void doit(){ ll ji=0,ou1=0,ou2=0; rep(i,1,m){ if(b[i]&1)ji=max(ji,b[i]); else{//寻找最大的奇数,最大和次大的偶数 if(ou1<b[i])ou2=ou1,ou1=b[i]; else if(ou2<b[i])ou2=b[i]; } } if(ou2!=0){ ll Q=(ou2*2-ji); if(ok(Q*ans)){ans=Q*ans;return;} } if(ou1!=0){ ll Q=(ou1*2-ji); if(ok(Q*ans)){ans=Q*ans;return;} }//找到一个最小的合法M } int check(int x){ ll tmp=1LL<<x,y=tmp/2;int cnt=0,re=0,z=n; rep(i,1,n) if(!vis[i]) if(a[i]%tmp==y)cnt++; if(cnt==1)re=1;if(re!=1)return re; rep(i,1,n){ if(vis[i]){z--;continue;} if(a[i]%tmp==y){vis[i]=true;z--;} } if(z==0)re=2; return re; } int main() { //freopen("in.txt","r",stdin); //freopen("out.txt","w",stdout); n=read(); rep(i,1,n)a[i]=read(); sort(a+1,a+1+n); if(a[1]==0){ans=1;if(a !=0)ans=a *2;cout<<ans<<endl;return 0;}//特判M为2^x的特殊情况 int now=0; while(1){ int ret=check(now+1); if(ret==2){cout<<a +1<<endl;return 0;} if(ret==1)now++;else break; } rep(i,1,n) if(!vis[i])b[++m]=a[i]; ans=1LL<<now; rep(i,1,m)b[i]/=ans;//转化为奇数的子问题 doit(); cout<<ans<<endl; return 0; }
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