BZOJ1036: [ZJOI2008]树的统计Count

Description

一棵树上有n个节点，编号分别为1到n，每个节点都有一个权值w。我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成一些操作：

I. CHANGE u t : 把结点u的权值改为t

II. QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值

III. QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和 注意：从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身

Input

输入的第一行为一个整数n，表示节点的个数。接下来n – 1行，每行2个整数a和b，表示节点a和节点b之间有一条边相连。接下来n行，每行一个整数，第i行的整数wi表示节点i的权值。接下来1行，为一个整数q，表示操作的总数。接下来q行，每行一个操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。

Output

对于每个“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行输出一个整数表示要求输出的结果。

Sample Input

4
1 2
2 3
4 1
4 2 1 3
12
QMAX 3 4
QMAX 3 3
QMAX 3 2
QMAX 2 3
QSUM 3 4
QSUM 2 1
CHANGE 1 5
QMAX 3 4
CHANGE 3 6
QMAX 3 4
QMAX 2 4
QSUM 3 4

Sample Output

4
1
2
2
10
6
5
6
5
16

Data Constraint

对于100％的数据，保证1<=n<=30000，0<=q<=200000；中途操作中保证每个节点的权值w在-30000到30000之间。

Solution

这是一道非常明显的树剖题

树剖就是把一棵树剖分成轻链和重链，放入线段树中处理各种信息，便于处理（查询和修改）树中路径上的值。

将树中的边分为：轻边和重边，定义size(X)为以X为根的子树的节点个数。令V为U的儿子节点中size值最大的节点，那么边(U,V)被称为重边，树中重边之外的边被称为轻边。

性质：轻边(U,V)，size(V)<=size(U)/2。

具体方法：

1.dfs一次，处理出每个点的子树大小（size），深度（dep），父亲（fa），重儿子（son）。

2.再dfs一次，因为在数据结构中一条重链是连续的一段，所以要重新编号及处理出每个点在的重链的顶端（top）。

void dfs2(int x,int topp)
{
w[x]=++totw; top[x]=topp;
if (son[x]!=0)dfs2(son[x],top[x]);//沿着重链走，所以top不变
for (int i=last[x];i!=0;i=side[i].next)
if (side[i].y!=son[x] && side[i].y!=fa[x])
dfs2(side[i].y,side[i].y);//新的一条链，这个点即顶端。
}

3.当要查询两点间路径上的信息时，

若两点在同一条重链上，就可以直接查询。

若不在同一重链上，把深的点跳到其top的父亲，并计算它到top这段的值。最终两点一定会在一条重链上。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

#define N 30030
#define INF 0x7fffffff

struct edge
{
int y,next;
};

struct tr
{
int ma,sum;
};

tr tree[N*4];
edge side[N*2];
int size
,last
,fa
,son
,dep
,num
,top
,w
;
int n,m,tot,totw;
char ch[15];

void add(int x,int y)
{
++tot;
side[tot].y=y;
side[tot].next=last[x];
last[x]=tot;
}

void init()
{
scanf("%d",&n);
int x,y;
memset(last,0,sizeof(last));
for (int i=1;i<=n-1;i++)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);
add(y,x);
}
for (int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&num[i]);
}

void dfs1(int x)
{
size[x]=1; son[x]=0;
for (int i=last[x];i!=0;i=side[i].next)
if (side[i].y!=fa[x])
{
int j=side[i].y;
fa[j]=x;
dep[j]=dep[x]+1;
dfs1(j);
size[x]+=size[j];
if (size[j]>size[son[x]]) son[x]=j;
}
}

void dfs2(int x,int topp)
{
w[x]=++totw; top[x]=topp;
if (son[x]!=0) dfs2(son[x],top[x]);
for (int i=last[x];i!=0;i=side[i].next)
if (side[i].y!=son[x] && side[i].y!=fa[x])
dfs2(side[i].y,side[i].y);
}

void change(int x,int l,int r,int po,int q)
{
if (po==l && l==r)
{
tree[x].ma=tree[x].sum=q;
return;
}
int mid=(l+r)/2;
if (po<=mid) change(x+x,l,mid,po,q);
else change(x+x+1,mid+1,r,po,q);
tree[x].sum=tree[x+x].sum+tree[x+x+1].sum;
tree[x].ma=max(tree[x+x].ma,tree[x+x+1].ma);
}

int qumax(int x,int l,int r,int s,int e)
{
if (l==s && r==e) return tree[x].ma;
int mid=(l+r)/2;
if (e<=mid) return qumax(x+x,l,mid,s,e);
else if (s>mid) return qumax(x+x+1,mid+1,r,s,e);
else return max(qumax(x+x,l,mid,s,mid),qumax(x+x+1,mid+1,r,mid+1,e));
}

int qusum(int x,int l,int r,int s,int e)
{
if (l==s && r==e) return tree[x].sum;
int mid=(l+r)/2;
if (e<=mid) return qusum(x+x,l,mid,s,e);
else if (s>mid) return qusum(x+x+1,mid+1,r,s,e);
else return qusum(x+x,l,mid,s,mid)+qusum(x+x+1,mid+1,r,mid+1,e);
}

void solmax(int x,int y)
{
int mx=-INF;
while (top[x]!=top[y])
{
if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
mx=max(mx,qumax(1,1,n,w[top[x]],w[x]));
x=fa[top[x]];
}
if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
mx=max(mx,qumax(1,1,n,w[x],w[y]));
printf("%d\n",mx);
}

void solsum(int x,int y)
{
int su=0;
while (top[x]!=top[y])
{
if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
su+=qusum(1,1,n,w[top[x]],w[x]);
x=fa[top[x]];
}
if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
su+=qusum(1,1,n,w[x],w[y]);
printf("%d\n",su);
}

int main()
{
freopen("1036.in","r",stdin);
freopen("1036.out","w",stdout);
init();
dfs1(1);
dfs2(1,1);
for (int i=1;i<=n;i++)
change(1,1,n,w[i],num[i]);
scanf("%d",&m);
int x,y;
for (int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%s%d%d",ch,&x,&y);
if (ch[0]=='C') change(1,1,n,w[x],y);
else
if (ch[1]=='M') solmax(x,y);
else solsum(x,y);
}
return 0;
}