【LightOJ1336】Sigma Function(数论)
2018-01-09 09:51
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题面
Vjudge求和运算是一种有趣的操作,它来源于古希腊字母σ,现在我们来求一个数字的所有因子之和。例如σ(24)=1+2+3+4+6+8+12+24=60.对于小的数字求和是非常的简单,但是对于大数字求和就比较困难了。现在给你一个n,你需要求出有多少个数字的σ是偶数。
注:一个数字的σ指这个数的所有因子之和
题解
现在观察一下数的因子和的奇偶性如果这个数是一个奇数
那么,它的因子一定成对存在
且每一对的和都是偶数
但是,如果是完全平方数,那么它有一对为奇数
所以,所有奇数的完全平方数的因子和是奇数
如果这个数是偶数
那么,它可以写成2x∗n的形式
它的因子也可以看成成对存在的
所以,如果因子两项中都是偶数,那么和也是偶数,
所以,需要考虑的是分解成2x∗a和b的形式
但是a,b是对称的,所以有2x∗a就必有2x∗b
所以,这样组合起来还是偶数
但是,发现当n是完全平方数的时候
只能写出一个2x∗n√和n√
此时的因数的和是奇数
所以,我们发现,
只有2x∗i2且i是奇数的时候
他们的因子的和才是奇数
所以,要求的就是n中含有几个2x∗i2
每次把n除二,这样考虑每次的结果中含有几个i2的倍数就行了
补充O(1)做法
上面的分类可以继续简化:
也就是所有的完全平方数和他们的两倍
所以,减去的值就是n√+n2−−√
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<set> #include<map> #include<vector> #include<queue> using namespace std; #define ll long long inline ll read() { ll x=0,t=1;char ch=getchar(); while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar(); if(ch=='-')t=-1,ch=getchar(); while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return x*t; } int main() { int T=read(); for(int gg=1;gg<=T;++gg) { ll n=read(),l=sqrt(n); ll ans=n; while(n) { ll gg=sqrt(n);if(gg%2==0)gg--; ans-=(gg+1)/2; n>>=1; } printf("Case %d: %lld\n",gg,ans); } return 0; }
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