CodeForces 388 D.Fox and Perfect Sets（线性基+dp）

Description

称一个非空子集（元素均非负）的集合是完美的当且仅当其对异或运算封闭，问所包含元素为不超过k的非负整数的集合中有多少是完美的

Input

一个整数k(1≤k≤109)

Output

输出满足条件的集合个数，结果模109+7

Sample Input

1

Sample Output

2

Solution

考虑线性基的位置，如果线性基的位置确定，那么集合S在这些位是确定的，方案数体现在其他非线性基的位

从高位到低位按位考虑以该位为最高位的线性基是否加入，dp[i][j][k]表示从第i位到最高位已经选了j个位做基且基异或得到的最大值（指的是在第i位到最高位）是否等于n的方案数

1.当k=0时，考虑第i−1位

该位如果要作为一个基，那么有dp[i−1][j+1][0]+=dp[i][j][0]

该位不是基，那么之前的j个基每个基在这一位都可以0,1随便选，故有dp[i−1][j][0]+=2j⋅dp[i][j][0]

2.当k=1时，考虑第i−1位和n的第i−1位，之前的j个基在该位的取值有2j种

令x=2j−1,j≥1,x=0,j=0,y=2j−1,j≥1,y=0,j=0，表示有x种可能使得这些基异或得到的最大值在第i−1位是0，有y种可能使得这些基异或得到的最大值在第i−1位是1

（x的含义就是有偶数个基在该位是1则异或结果是0，y的含义就是有奇数个基在该位是1则异或结果是1）

如果n的第i−1位是0，那么最大值在该位必须是0，有x种情况，故dp[i−1][y][1]+=x⋅dp[i][j][1]

如果n的第i−1位是1，如果该位要作为一个基，那么有dp[i−1][j+1][1]+=dp[i][j][1]，如果该位不是基，那么有x种情况使得当前最大值小于n，有y种情况使得当前最大值等于n，故有dp[i−1][j][0]+=x⋅dp[i][j][1],dp[i−1][j][1]==y⋅dp[i][j][1]

最终∑i(dp[0][i][0]+dp[0][i][1])即为答案

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define mod 1000000007
void add(int &x,int y)
{
x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
}
int n,dp[32][32][2];
int main()
{
scanf("%d",&n);
dp[30][0][1]=1;
for(int i=30;i>0;i--)
for(int j=0;j<=30;j++)
{
add(dp[i-1][j][0],(1ll<<j)*dp[i][j][0]%mod);
add(dp[i-1][j+1][0],dp[i][j][0]);
int x=j?(1<<(j-1)):1,y=j?(1<<(j-1)):0;
if(n>>(i-1)&1)
{
add(dp[i-1][j][0],(ll)x*dp[i][j][1]%mod);
add(dp[i-1][j][1],(ll)y*dp[i][j][1]%mod);
add(dp[i-1][j+1][1],dp[i][j][1]);
}
else add(dp[i-1][j][1],(ll)x*dp[i][j][1]%mod);
}
int ans=0;
for(int i=0;i<=30;i++)
add(ans,dp[0][i][0]),add(ans,dp[0][i][1]);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}