bzoj3224: Tyvj 1728 普通平衡树（平衡树）

bzoj3224: Tyvj 1728 普通平衡树（平衡树）

总结

a. cout<<(x=3)<<endl;这句话输出的值是3，那么对应的，在splay操作中，当父亲不为0的时候，就一直向上旋转

3224: Tyvj 1728 普通平衡树

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Description

您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：
1. 插入x数
2. 删除x数(若有多个相同的数，因只删除一个)
3. 查询x数的排名(若有多个相同的数，因输出最小的排名)
4. 查询排名为x的数
5. 求x的前驱(前驱定义为小于x，且最大的数)
6. 求x的后继(后继定义为大于x，且最小的数)

Input

第一行为n，表示操作的个数,下面n行每行有两个数opt和x，opt表示操作的序号(1<=opt<=6)

Output

对于操作3,4,5,6每行输出一个数，表示对应答案

Sample Input

10

1 106465

4 1

1 317721

1 460929

1 644985

1 84185

1 89851

6 81968

1 492737

5 493598

Sample Output

106465

84185

492737

HINT

1.n的数据范围：n<=100000

2.每个数的数据范围：[-2e9,2e9]

Source

平衡树

变量声明：f[i]表示i的父结点，ch[i][0]表示i的左儿子，ch[i][1]表示i的右儿子，key[i]表示i的关键字（即结点i代表的那个数字），cnt[i]表示i结点的关键字出现的次数（相当于权值），size[i]表示包括i的这个子树的大小；sz为整棵树的大小，root为整棵树的根。

再介绍几个基本操作：

【clear操作】：将当前点的各项值都清0（用于删除之后）

inline void clear(int x){

ch[x][0]=ch[x][1]=f[x]=cnt[x]=key[x]=size[x]=0;

}

【get操作】：判断当前点是它父结点的左儿子还是右儿子

inline int get(int x){

return ch[f[x]][1]==x;

}

【update操作】：更新当前点的size值（用于发生修改之后）

inline void update(int x){

if (x){

size[x]=cnt[x];

if (ch[x][0]) size[x]+=size[ch[x][0]];

if (ch[x][1]) size[x]+=size[ch[x][1]];

}

}

下面boss来了：

【rotate操作图文详解】



这是原来的树，假设我们现在要将D结点rotate到它的父亲的位置。

step 1：

找出D的父亲结点（B）以及父亲的父亲（A）并记录。判断D是B的左结点还是右结点。

step 2：

我们知道要将Drotate到B的位置，二叉树的大小关系不变的话，B就要成为D的右结点了没错吧？

咦？可是D已经有右结点了，这样不就冲突了吗？怎么解决这个冲突呢？

我们知道，D原来是B的左结点，那么rotate过后B就一定没有左结点了对吧，那么正好，我们把G接到B的左结点去，并且这样大小关系依然是不变的，就完美的解决了这个冲突。





这样我们就完成了一次rotate，如果是右儿子的话同理。step 2的具体操作：

我们已经判断了D是B的左儿子还是右儿子，设这个关系为K；将D与K关系相反的儿子的父亲记为B与K关系相同的儿子（这里即为D的右儿子的父亲记为B的左儿子）；将D与K关系相反的儿子的父亲即为B（这里即为把G的父亲记为B）；将B的父亲即为D；将D与K关系相反的儿子记为B（这里即为把D的右儿子记为B）；将D的父亲记为A。

最后要判断，如果A存在（即rotate到的位置不是根的话），要把A的儿子即为D。

显而易见，rotate之后所有牵涉到变化的父子关系都要改变。以上的树需要改变四对父子关系，BG DG BD AB，需要三个操作（BG BD AB）。

step 3：update一下当前点和各个父结点的各个值

【代码】

inline void rotate(int x){

int old=f[x],oldf=f[old],which=get(x);

ch[old][which]=ch[x][which^1];f[ch[old][which]]=old;

f[old]=x;ch[x][which^1]=old;

f[x]=oldf;

if (oldf)

ch[oldf][ch[oldf][1]==old]=x;

update(old);update(x);

}

【splay操作】

其实splay只是rotate的发展。伸展操作只是在不停的rotate，一直到达到目标状态。如果有一个确定的目标状态，也可以传两个参。此代码直接splay到根。

splay的过程中需要分类讨论，如果是三点一线的话（x，x的父亲，x的祖父）需要先rotate x的父亲，否则需要先rotate x本身（否则会形成单旋使平衡树失衡）

inline void splay(int x){

for (int fa;(fa=f[x]);rotate(x))

if (f[fa])

rotate((get(x)==get(fa)?fa:x));

root=x;

}

【insert操作】

其实插入操作是比较简单的，和普通的二叉查找树基本一样。

step 1：如果root=0，即树为空的话，做一些特殊的处理，直接返回即可。

step 2：按照二叉查找树的方法一直向下找，其中：

如果遇到一个结点的关键字等于当前要插入的点的话，我们就等于把这个结点加了一个权值。因为在二叉搜索树中是不可能出现两个相同的点的。并且要将当前点和它父亲结点的各项值更新一下。做一下splay。

如果已经到了最底下了，那么就可以直接插入。整个树的大小要+1，新结点的左儿子右儿子（虽然是空）父亲还有各项值要一一对应。并且最后要做一下他父亲的update（做他自己的没有必要）。做一下splay。

inline void insert(int v){

if (root==0) {sz++;ch[sz][0]=ch[sz][1]=f[sz]=0;key[sz]=v;cnt[sz]=1;size[sz]=1;root=sz;return;}

int now=root,fa=0;

while (1){

if (key[now]==v){

cnt[now]++;update(now);update(fa);splay(now);break;

}

fa=now;

now=ch[now][key[now]<v];

if (now==0){

sz++;

ch[sz][0]=ch[sz][1]=0;key[sz]=v;size[sz]=1;

cnt[sz]=1;f[sz]=fa;ch[fa][key[fa]<v]=sz;

update(fa);

splay(sz);

break;

}

}

}

【find操作】查询x的排名

初始化：ans=0，当前点=root

和其它二叉搜索树的操作基本一样。但是区别是：

如果x比当前结点小，即应该向左子树寻找，ans不用改变（设想一下，走到整棵树的最左端最底端排名不就是1吗）。

如果x比当前结点大，即应该向右子树寻找，ans需要加上左子树的大小以及根的大小（这里的大小指的是权值）。

不要忘记了再splay一下

inline int find(int v){

int ans=0,now=root;

while (1){

if (v<key[now])

now=ch[now][0];

else{

ans+=(ch[now][0]?size[ch[now][0]]:0);

if (v==key[now]) {splay(now);return ans+1;}

ans+=cnt[now];

now=ch[now][1];

}

}

}

【findx操作】找到排名为x的点

初始化：当前点=root

和上面的思路基本相同：

如果当前点有左子树，并且x比左子树的大小小的话，即向左子树寻找；

否则，向右子树寻找：先判断是否有右子树，然后记录右子树的大小以及当前点的大小（都为权值），用于判断是否需要继续向右子树寻找。

inline int findx(int x){

int now=root;

while (1){

if (ch[now][0]&&x<=size[ch[now][0]])

now=ch[now][0];

else{

int temp=(ch[now][0]?size[ch[now][0]]:0)+cnt[now];

if (x<=temp)

return key[now];

x-=temp;now=ch[now][1];

}

}

}

【求x的前驱（后继），前驱（后继）定义为小于（大于）x，且最大（最小）的数】

这类问题可以转化为将x插入，求出树上的前驱（后继），再将x删除的问题。

其中insert操作上文已经提到。

【pre/next操作】

这个操作十分的简单，只需要理解一点：在我们做insert操作之后做了一遍splay。这就意味着我们把x已经splay到根了。求x的前驱其实就是求x的左子树的最右边的一个结点，后继是求x的右子树的左边一个结点（想一想为什么？）

inline int pre(){

int now=ch[root][0];

while (ch[now][1]) now=ch[now][1];

return now;

}

inline int next(){

int now=ch[root][1];

while (ch[now][0]) now=ch[now][0];

return now;

}

【del操作】

删除操作是最后一个稍微有点麻烦的操作。

step 1：随便find一下x。目的是：将x旋转到根。

step 2：那么现在x就是根了。如果cnt[root]>1，即不只有一个x的话，直接-1返回。

step 3：如果root并没有孩子，就说名树上只有一个x而已，直接clear返回。

step 4：如果root只有左儿子或者右儿子，那么直接clear root，然后把唯一的儿子当作根就可以了（f赋0，root赋为唯一的儿子）

剩下的就是它有两个儿子的情况。

step 5：我们找到新根，也就是x的前驱（x左子树最大的一个点），将它旋转到根。然后将原来x的右子树接到新根的右子树上（注意这个操作需要改变父子关系）。这实际上就把x删除了。不要忘了update新根。

inline void del(int x){

int whatever=find(x);

if (cnt[root]>1) {cnt[root]--;return;}

//Only One Point

if (!ch[root][0]&&!ch[root][1]) {clear(root);root=0;return;}

//Only One Child

if (!ch[root][0]){

int oldroot=root;root=ch[root][1];f[root]=0;clear(oldroot);return;

}

else if (!ch[root][1]){

int oldroot=root;root=ch[root][0];f[root]=0;clear(oldroot);return;

}

//Two Children

int leftbig=pre(),oldroot=root;

splay(leftbig);

f[ch[oldroot][1]]=root;

ch[root][1]=ch[oldroot][1];

clear(oldroot);

update(root);

return;

}

【总结】

平衡树的本质其实是二叉搜索树，所以很多操作是基于二叉搜索树的操作。

splay的本质是rotate，旋转其实只是为了保证二叉搜索树的平衡性。

所有的操作一定都满足二叉搜索树的性质，所有改变父子关系的操作一定要update。

关键是理解rotate，splay的原理以及每一个操作的原理。

所有的操作均来自bzoj3224 普通平衡树 附链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3224

完整代码：http://blog.csdn.net/clove_unique/article/details/50636361

1 #include<iostream>
2 #include<cstring>
3 #include<cstdio>
4 using namespace std;
5 #define MAXN 1000000
6 int ch[MAXN][2],f[MAXN],size[MAXN],cnt[MAXN],key[MAXN];
7 int sz,root;
8 inline void clear(int x){
9     ch[x][0]=ch[x][1]=f[x]=size[x]=cnt[x]=key[x]=0;
10 }
11 //输入的x是查询的节点，输出1的话表示右孩子，0的话表示左孩子
12 //f[x]是x节点的父亲 ，ch[f[x]][1]是x父亲节点的右孩子
13 //ch[f[x]][1]==x,如果父亲的右孩子等于自己，自己就是右孩子
14 inline bool get(int x){
15     return ch[f[x]][1]==x;
16 }
17 inline void update(int x){
18     if (x){
19         size[x]=cnt[x];
20         if (ch[x][0]) size[x]+=size[ch[x][0]];
21         if (ch[x][1]) size[x]+=size[ch[x][1]];
22     }
23 }
24 //这个旋转操作是将左旋和右旋结合起来了 ，将孩子旋转到父亲的位置上面去
25 inline void rotate(int x){
26     //图中x是D，old是B，oldf是A，whichx是0，表示左孩子
27     int old=f[x],oldf=f[old],whichx=get(x);
28     //相当于图中把G赋值给B
29     ch[old][whichx]=ch[x][whichx^1]; //^是异或，相同为0，不同为1
30     //设置修改后G的父亲是B
31     f[ch[old][whichx]]=old;
32     //想当予图中将B作为D的孩子
33     ch[x][whichx^1]=old;
34     //设置B的父亲为D
35     f[old]=x;
36     //将D的父亲设置为A
37     f[x]=oldf;
38     //
39     if (oldf)
40         ch[oldf][ch[oldf][1]==old]=x;//设置D是A的左孩子还是右孩子
41     //更新B节点的大小和D节点的大小（节点个数）
42     update(old); update(x);
43 }
44
45 inline void splay(int x){
46     //fa是x的父亲 ，旋转两次
47     for (int fa;fa=f[x];rotate(x))
48     //如果fa的父亲节点存在
49     if (f[fa])
50     //如果x和fa同是左孩子或者又孩子（同为链），就旋转fa，否则旋转x
51         rotate((get(x)==get(fa))?fa:x);
52     //一直旋转到x为根节点
53     root=x;
54 }
55 inline void insert(int x){
56     //如果之前没有节点，初始化根
57     if (root==0){sz++; ch[sz][0]=ch[sz][1]=f[sz]=0; root=sz; size[sz]=cnt[sz]=1; key[sz]=x; return;}
58     //先找到位置然后再插入，从根节点开始
59     int now=root,fa=0;
60     while(1){
61         if (x==key[now]){//找到
62             cnt[now]++; update(now); update(fa); splay(now); break;
63         }
64         //从根节点开始向下找
65         fa=now;
66         //这一步确定是找左孩子还是右孩子， key[now]<x用来确定找哪个孩子
67         now=ch[now][key[now]<x];
68         //直到没找到，也就是找到插入的位置
69         if (now==0){
70             //找到插入的位置后就是一系列的赋值修改
71             sz++;
72             ch[sz][0]=ch[sz][1]=0;
73             f[sz]=fa;
74             size[sz]=cnt[sz]=1;
75             //确定是左孩子还是右孩子
76             ch[fa][key[fa]<x]=sz;
77             key[sz]=x;
78             update(fa);
79             //伸展操作
80             splay(sz);
81             break;
82         }
83     }
84 }
85 inline int find(int x){
86     //从根节点开始找
87     int now=root,ans=0;
88     while(1){
89         if (x<key[now])
90           now=ch[now][0];
91         else{
92             //加上左孩子
93             ans+=(ch[now][0]?size[ch[now][0]]:0);
94             //找到
95             if (x==key[now]){
96                 splay(now); return ans+1;
97             }
98             //加上根
99             ans+=cnt[now];
100             //继续向右孩子循环
101             now=ch[now][1];
102         }
103     }
104 }
105 inline int findx(int x){
106     int now=root;
107     while(1){
108         if (ch[now][0]&&x<=size[ch[now][0]])
109           now=ch[now][0];
110         else{
111             int temp=(ch[now][0]?size[ch[now][0]]:0)+cnt[now];
112             if (x<=temp) return key[now];
113             x-=temp; now=ch[now][1];
114         }
115     }
116 }
117 //因为有伸展操作，所以求前驱后继很方便
118 inline int pre(){//左子树中最大
119     int now=ch[root][0];
120     while (ch[now][1]) now=ch[now][1];
121     return now;
122 }
123 inline int next(){//右子树中最小
124     int now=ch[root][1];
125     while (ch[now][0]) now=ch[now][0];
126     return now;
127 }
128 inline void del(int x){
129     int whatever=find(x);
130     if (cnt[root]>1){cnt[root]--; update(root); return;}
131     if (!ch[root][0]&&!ch[root][1]) {clear(root); root=0; return;}
132     if (!ch[root][0]){
133         int oldroot=root; root=ch[root][1]; f[root]=0; clear(oldroot); return;
134     }
135     else if (!ch[root][1]){
136         int oldroot=root; root=ch[root][0]; f[root]=0; clear(oldroot); return;
137     }
138     //因为我们要操作的节点已经旋转到根，所以，求左右子树的话就是直接求根的，所以都不需要传参数
139     int leftbig=pre(),oldroot=root;
140     splay(leftbig);
141     //因为我们找的前驱节点，右子树没有变化，直接给就好
142     ch[root][1]=ch[oldroot][1];
143     //设置父亲
144     f[ch[oldroot][1]]=root;
145     clear(oldroot);//清除老根节点
146     update(root);
147 }
148 int main(){
149     int n,opt,x;
150     scanf("%d",&n);
151     for (int i=1;i<=n;++i){
152         scanf("%d%d",&opt,&x);
153         switch(opt){
154             case 1: insert(x); break;
155             case 2: del(x); break;
156             case 3: printf("%d\n",find(x)); break;
157             case 4: printf("%d\n",findx(x)); break;
158             case 5: insert(x); printf("%d\n",key[pre()]); del(x); break;
159             case 6: insert(x); printf("%d\n",key[next()]); del(x); break;
160         }
161     }
162 }