[BZOJ3122][Sdoi2013]随机数生成器（BSGS）

题目：

我是超链接

题解：

题目让求 Xi+1=aXi+b (mod p)

我们回忆一下数学必修五关于数列的内容，把ta化成一个等比数列是不是好做很多呢？

那么我们画出来的等比数列就是Xi+1+ba−1=a(Xi+ba−1) (mod p)

那么根据等比数列递推公式Xn+ba−1=an−1(X1+ba−1) (mod p)

这里只有an−1是未知的呀，我们移项

an−1≡(Xn+b∗inv(a−1))∗inv(X1+b∗inv(a−1)) (mod p)

然后就是一个裸的BSGS啦

不过要特别注意特判内容，a=0和a=1，这个柿子都没有意义，所以要特判

代码：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <map>
#define LL long long
using namespace std;
map<LL,LL> hash;
LL p,a,b,x1,xn;
LL ksm(LL a,LL k)
{
LL ans=1;a%=p;
for (;k;k>>=1,a=a*a%p)
if (k&1) ans=ans*a%p;
return ans;
}
LL bsgs(LL a,LL b,LL p)
{
if (a%p==0) return -1;
hash.clear();
LL m=ceil(sqrt(p));
LL am=ksm(a,m);
for (int j=0;j<=m;j++){hash[b]=j; b=b*a%p;}
LL mul=1;
for (int i=1;i<=m;i++)
{
mul=mul*am%p;
if (hash[mul]) return i*m-hash[mul]+1;
}
return -1;
}
int main()
{
int T;scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&p,&a,&b,&x1,&xn);
if (x1==xn) {printf("1\n"); continue;}
if (a==0) {if (xn==b) printf("2\n");else printf("-1\n");continue;}
if (a==1 && b==0) {printf("-1\n");continue;}

if (a==1){
LL nyb=ksm(b,p-2);
LL ans=((((xn-x1)%p+p)%p)*nyb%p)%p;
printf("%lld\n",ans+1);
continue;
}

LL inv=b%p*ksm(a-1,p-2)%p;
LL shou=(xn%p+inv)%p;
LL hou=(x1%p+inv)%p;hou=ksm(hou,p-2)%p;
LL ans=bsgs(a,shou*hou%p,p);
printf("%lld\n",ans);
}
}

UPD：

后来手写hash了一波，直接就在BZOJ/luogu上光荣上榜了

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=100003;
LL p,a,b,x1,xn,v
,c
;int tot,nxt
,point
;
void addline(LL z,LL mb){int x=z%N; ++tot; nxt[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=z; c[tot]=mb;}
LL ksm(LL a,LL k)
{
LL ans=1;a%=p;
for (;k;k>>=1,a=a*a%p)
if (k&1) ans=ans*a%p;
return ans;
}
LL find(LL mb)
{
int x=mb%N;
for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
if (v[i]==mb) return c[i];
return -1;
}
LL bsgs(LL a,LL b,LL p)
{
if (a%p==0) return -1;
tot=0; memset(point,0,sizeof(point));
LL m=ceil(sqrt(p));
LL am=ksm(a,m);
for (int j=0;j<=m;j++){addline(b,j); b=b*a%p;}
LL mul=1;
for (int i=1;i<=m;i++)
{
mul=mul*am%p;
LL t=find(mul);
if (t!=-1) return i*m-t+1;
}
return -1;
}
int main()
{
int T;scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&p,&a,&b,&x1,&xn);
if (x1==xn) {printf("1\n"); continue;}
if (a==0) {if (xn==b) printf("2\n");else printf("-1\n");continue;}
if (a==1 && b==0) {printf("-1\n");continue;}

if (a==1){
LL nyb=ksm(b,p-2);
LL ans=((((xn-x1)%p+p)%p)*nyb%p)%p;
printf("%lld\n",ans+1);
continue;
}

LL inv=b%p*ksm(a-1,p-2)%p;
LL shou=(xn%p+inv)%p;
LL hou=(x1%p+inv)%p;hou=ksm(hou,p-2)%p;
LL ans=bsgs(a,shou*hou%p,p);
printf("%lld\n",ans);
}
}