CodeForces 340 C.Tourist Problem（组合数学）

Description

给出数轴上n个地点的坐标a1,...,an，随机的给出一个排列，按照该排列去一个个到达排列对应的地点，初始在原点处，问所走距离的期望值

Input

第一行一整数n，之后输入n个整数ai(2≤n≤105,1≤ai≤107)

Output

输出距离期望值的最简分数表示

Sample Input

3

2 3 5

Sample Output

22 3

Solution

对于一个排列p1,...,pn，其对应的距离为ap1+∑i=1n−1|api−api+1|

考虑ai对答案的影响（假设a序列已经升序）

如果p1=i，考虑p2的取值，其他n−2个数字随便排，如果p2>p1，那么一加一减，ai对答案贡献是0，如果p2<p1，那么两次都是加，对答案贡献是2ai，故这种情况对答案的贡献就是2⋅(i−1)⋅(n−2)!⋅ai

如果pn=i，考虑pn−1的取值，其他n−2个数字随便排，如果pn−1>pn，那么对答案贡献是−ai，如果pn−1<pn，那么对答案贡献是ai，故这种情况对答案的贡献就是((i−1)−(n−i))⋅(n−2)!⋅ai

如果pj=i,2≤j≤n−1，考虑pj−1和pj+1的取值，其他n−3个数字随便排，如果两者比pj一大一小，则对答案贡献是0，如果都比pj大，那么对答案贡献就是−2⋅ai，如果都比pj小，那么对答案贡献就是2⋅ai，故这种情况对答案的贡献就是(n−2)⋅(n−3)!⋅2⋅(A2i−1−A2n−i)⋅ai

故ai对总距离和贡献的次数为(n−2)!⋅(2⋅(i−1)+2⋅i−n−1+2⋅(A2i−1−A2n−i))=(n−1)!⋅(4⋅i−2⋅n−1)

进而求得期望为∑i=1n(4i−2n−1)⋅ain

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=100005;
ll gcd(ll a,ll b)
{
return b?gcd(b,a%b):a;
}
int n,a[maxn];
int main()
{
int n;
while(~scanf("%d",&n))
{
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
sort(a+1,a+n+1);
ll ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
ans+=(ll)(4*i-2*n-1)*a[i];
ll g=gcd(ans,n);
printf("%I64d %I64d\n",ans/g,n/g);
}
return 0;
}