维纳滤波器---看完必懂（不懂再看一遍就懂）

首先我们讨论一下什么叫滤波器，一个滤波器就是一段含有噪声的信号，经过这个滤波器之后，变成了另一个信号，只不过，这个信号比较特殊，它和原来的信号有联系，这个联系就是现在的信号是原来信号的+噪声信号。这就是输出信号，和输入信号的相关性。

既然滤波器就是这么一个东西h(n),我们现在就只去寻找或者设计一个这样的，可以实现h(n)的黑匣子。

我们知道无论什么系统，它的输入，输出和系统之间都满足这么一个关系：输出=输入卷积系统传递函数，这个是所以系统都满足的性质。那么我们的滤波器系统不仅满足啥上面那个特殊的式子，还满足这个基本的式子。这个式子在离散状态下的表达式就是

这是一个求和公式。这个式子是我们进行一切操作的基础。

这里我们先进行一个小插曲，有了上面那个公式之后，我们现在要找到可以消去噪声V（n）的系统。

1.  可以消去V（n）就是这个系统的特性，我们要根据这个特性来找到这个系统具有的其他性质，通过其他性质来确定这个系统。这时就利用我们的最小均方差准则来，通过现在的输出和先验输出之差的平方来计算误差，只要找到满足条件h(n)的性质，就可以找到滤波器的性质。这时一种思路，还有一种思路就是：

2.  我们根据滤波器性质，输出=输入+噪声卷积系统传递函数，这样求解h(n)就可以了，这时求出的h(n),满足将误差消除的性质。但是这里我们是要把误差减小到0，实际中，要是将误差减小到0，可能这个方程是无解的。但是每个方程基本上都会有一个最优的解，这就是大部分研究所追寻的方向，就是不是寻找为0的那个解，能找到最优的那个解就行了，什么东西，不是要找那个最好的，有优秀的，而是要寻找那个适合自己的，这个适合自己的就是你的最优解。如果，强求找的为0的那个解，到最后花了很大的力气可能会发现，这是的无解的方程式。

说道最优，什么叫最优。找对象要有标准别人或者自己才能找到，最优也要有标准，才能找到这个最优解。我们这里的准则来源于信号恢复准确性判断标准，标准有：误差大代数和最小，误差的绝对值和最小，误差的平方和最小。我们这里采用的准则是均方误差最小准则：最小均方差准则：好处，运算处理简单，对大的噪声敏感，对小的噪声不敏感。

有了这个标准之后，我们就可以去找对象了，不对，是找到最优解。首先要将这个准则用我们具体的函数式表达出来，这里我们用现在的输出s(n)减去先验输出（根据以往式子推到出的现在的结果—理想结果）这就是误差。表达式有了，我们要找出使这个表达式最小时的那个h(n)。这就是你心目中最合适的那个人。解的过程，就是找人的过程。我们这里利用求导的方法，求出函数式最小时那个解。

我们这里通过求导求解，得出了解的方程：

 

这是我们从相关性方面研究这个方程式了，现在我们就来想想怎么从这个方程中解出我们真正需要的解h(n),有两种可能性：

1：通过Z变换来求解；

2.利用FIR滤波器来实现。

---通过变换成方程矩阵的形式。

求解变换：

同时均方差也可以用自相关函数来表达（性质是相同的）：

现在我们得出表达式了，但是感觉这个解还是不太好求，这时有一种新的求解方法：引入白噪声。因为任意一种信号的功率谱密度都可以看做白噪声激励一个物理网络形成的。

我们将求解h(n)，变成俩步，先求白噪声，再由白噪声求输出信号，这样过程就简单了。

原始问题转化为求最小G（Z）问题；

上面求解时物理不可实现的理想状态下的解（Z域变化），下面介绍一下，物理可以实现的求解：（自相关性）。

在功率谱方面的表达就是：

从这个式子中我们可以看出：最小均方差不仅和输入信号的功率有关，还和信号和噪声功率谱乘积有关。

最后得到：