不平等博弈问题学习记录（三）

今天写的这一篇文章离写第一篇文章的时间可能有几天了，并且在这段时间里也有人向我提出了我错误的地方，现已作更改。

今天，我们又做到了一道题目，也是不平等博弈的，听了讲题，我对不平等博弈有了更深的理解。

首先，不平等博弈，或者说是一个游戏，一直以来我觉得都可以用超实数来做，但今天我发现，其实超实数其实是一种数，这种游戏的状态不等价于超实数，就比如*符号，这个就不是超实数，所以这些东西都是超实数的扩充罢了。还有呢，在超实数的运算{X|Y}的定义中有“这两个集合中的元素也为超实数，且右集合中不存在一个元素 x 使得左集合中存在一个元素 y 满足 x≤y”。但事实上在博弈上很容易出现比如说{ 1 | 0 }的情况，这个时候在博弈中仍然是合法的，但是却不能按一般的运算方法来做了，需要用一些特技来算了。

就比如一道题，有两个人，一个人每次能拿a个石子，一个人每次能拿b个石子，求多堆的时候的情况

这道题有一个规律，如果有一堆石子有x个，那么它的状态等价于x%(a+b)个，可能不会证明，但是能通过打几个表来找到规律，其中就有{l|r}(l>r)的运算

下面枚举a=2,b=3的情况

f(0)=0 //0颗石子，先手必败

f(1)=0 //1颗石子，同样两个人都不能取，先手必败

f(2)=1 //第一个人能取，f(2)= { f(0) | Φ }={ 0 | inf }=1

f(3)=∗ //两个人都能取，一个人拿了另一个人就不能拿，所以就是先手必胜，先手必胜有3种情况：∗+↑ 、∗+↓ 、<
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span style="display: inline-block; position: relative; width: 0.491em; height: 0px; font-size: 123%;">∗ ，要怎么判断是三个中的哪个呢，由于↑+↑是一个第一个人必胜态，↓+↓是第一个人必败态，所以只要把这个石子复制成2堆，若是第一个人必胜，那么就是∗+↑，若是第二个人必胜，那么就是∗+↓，若是先手必败，那么就是∗，两堆3个的石子，那么显然是先手必败，所以f(3)=∗，其实很显然，f(3)={f(1)|f(0)}={0|0}=∗

f(4)=∗+↑ //同f(3)的做法，两个4堆的石子，是第一个人必胜，所以f(4)=∗+↑，同时发现，解决了f(4)={f(2)|f(1)}={1|0}的问题，{1|0}=∗+↑

f(5)=0 //这个显然先手必败，所以是0，同时f(5)={f(3)|f(2)}={∗|1},它竟然等于0

f(6)=0 //f(6)={f(4)|f(3)}={∗+↑|∗}，这个分析一下就知道，若第一个玩家先取，那么第二个玩家赢，若第二个玩家先取，那么第一个玩家赢，所以f(6)=0

f(7)=1 //f(7)={f(5)|f(4)}={0|∗+↑}，分析一下，这是一个先手必胜的状态，但是它等于几呢？一脸迷茫，猜一波结论，f(7)=1?证明呢，很简单，证明f(7)+(-1)=0就好了，也就是第二个人多一步，你可以自己分析一下步数，那就可以发现确实是先手必败

…其实已经有点循环了，后面的证明同理，不再说明

说重点，讲一讲超实数的加法吧

[b]加法运算[/b]

对于超实数 x= { XL | XR } 和 y = { YL | YR } ，它们的加法运算被定义为：

x+y={ XL | XR }+{ YL | YR }={XL+y,x+YL|XR+y,x+YR},

对于某个集合X和超实数y，X + y = { x + y : x ∈ X }

终止条件为Φ + n = Φ

[b]相反数运算[/b]

对于超实数 x= { XL | XR } ，x的相反数为：- x = -{ XL | XR } = { -XR | -XL }，对于集合X，-X={ -x : x ∈ X }

终止条件为-0=-{ | }={ | }=0

[b]其它定义[/b]

还有的定义是x-y=x+(-y)

根据上面三个官方的定义，还可以得到两个超实数之和还是超实数，并且加法满足交换律、结合律

证明上面的↑ + ↑是先手必胜态

证明：↑ + ↑ = { 0 | ∗ } + { 0 | ∗ } = { 0 + ↑ , ↑ + 0| ∗ + ↑ , ↑ + ∗ } = { ↑ | ∗ + ↑ }，所以是先手必胜

可能就这些了吧，这些东西差不多可以让超实数在博弈中得到扩展，之后不平等博弈问题会在需要的时候继续更新新的篇目，记录（三）到这里就结束了