证明STINGY SAT是NP-complete问题
2018-01-03 19:43
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要证明要这个问题之前,我们先来回顾一下,什么是SAT问题,以下概念摘自课本算法概论(注释版)。
对于一般的SAT来说,给定一个有穷的布尔变量集合X = {X1,X2,,,,,,,Xn}, |X| = n,每个变量取值0或1,一组字句C = C1∩C2∩.......交Cn,每个Ci是由多个变量组成的析取范式,长度不限,即Z1 ∨Z2∨Z3∨...........∨Zn。问:给定一个布尔变量集合X和字句集合C,是否存在一个真值赋值,使得C为真,即每个字句为真。
而STINGY_SAT定义如下,对于给定的集合来说,至多有k个变量为真,使得给定的SAT为真。
证明思路如下:首先要说明STINGY SAT 的解是可在多项式时间内验证的,这样既可说明STINGY SAT是NP问题,这个是很容易说明的。
接下来只要将SAT归约到STINGY_SAT即可,这时我们不妨将变量的总数设为k,令f为STINGY_SAT的一个实例。x为一组赋值。
则只需要证明x是f的解当且仅当x是(f,k)的解。
充分性:假设x是f的解,则至多由k个变量为真,则对于这样一组赋值x来说,(f,k)也为真,所以x是(f,k)的解。
必要性:假设x是(f,k)的解,则x也是f的解
综上所述,STINGY SAT 是一个NP-complete问题。
对于一般的SAT来说,给定一个有穷的布尔变量集合X = {X1,X2,,,,,,,Xn}, |X| = n,每个变量取值0或1,一组字句C = C1∩C2∩.......交Cn,每个Ci是由多个变量组成的析取范式,长度不限,即Z1 ∨Z2∨Z3∨...........∨Zn。问:给定一个布尔变量集合X和字句集合C,是否存在一个真值赋值,使得C为真,即每个字句为真。
而STINGY_SAT定义如下,对于给定的集合来说,至多有k个变量为真,使得给定的SAT为真。
证明思路如下:首先要说明STINGY SAT 的解是可在多项式时间内验证的,这样既可说明STINGY SAT是NP问题,这个是很容易说明的。
接下来只要将SAT归约到STINGY_SAT即可,这时我们不妨将变量的总数设为k,令f为STINGY_SAT的一个实例。x为一组赋值。
则只需要证明x是f的解当且仅当x是(f,k)的解。
充分性:假设x是f的解,则至多由k个变量为真,则对于这样一组赋值x来说,(f,k)也为真,所以x是(f,k)的解。
必要性:假设x是(f,k)的解,则x也是f的解
综上所述,STINGY SAT 是一个NP-complete问题。
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