几何问题一则

题目

△ABC的角平分线分别是AD、BE、CF，∠BAC=120°，求证：DE⊥DF。



设B为(−1,0)，C为(1,0)，∠ACB=u，那么，A的坐标是：

(sin(2u)3√−cos(2u),sin(2u)−2sin2(u)3√)

D的坐标是：

(3−123√tan(u)+3,0)

E的坐标是：(3√sin(2u)−2cos(u)+cos(2u)2cos(u)−1,−2sin(u)(3√sin(u)+cos(u)−2)2cos(u)−1)

F的坐标是：

⎛⎝⎜⎜⎜2sin(u)(sin(u)−3√cos(u))3√sin(u)+cos(u)−1+1,4sin2(u2)(3√cos(u)−sin(u))3√sin(u)+cos(u)−1⎞⎠⎟⎟⎟

向量DE−→−为：

(23√sin(u)(1−2cos(u))3√sin(u)+3cos(u),2sin(u)(3√sin(u)+cos(u)−2)2cos(u)−1)

向量DF−→−

⎛⎝⎜⎜⎜−4sin2(u2)(23√sin(u)−3)(2cos(u)+1)(3√sin(u)+cos(u)−1)(3√sin(u)+3cos(u)),4sin2(u2)(sin(u)−3√cos(u))3√sin(u)+cos(u)−1⎞⎠⎟⎟⎟

而，DE−→−⋅DF−→−=0，所以，DE⊥DF。