概率统计D 03.02 多维随机变量及其分布 B

§3.4随机变量的相互独立性

定义:设(X,Y)是二维随机变量,若X与Y的联合分布等于边缘分布的乘积,则称X与Y相互独立.

若(X,Y)的分布函数为F(x,y),关于X、Y的边缘分布函数为F X (x)、F Y (y),则X与Y相互独立的充分必要条件是F(x,y)=F X (x)⋅F Y (y).

对于二维离散型随机变量(X,Y),X与Y相互独立的充分必要条件是联合分布律等于边缘分布律的乘积,即P{X=x i ,Y=y j }=P{X=x i }P{Y=y j }(i=1,2,⋯j=1,2,⋯ )

对于二维连续型随机变量(X,Y),X与Y相互独立的充分必要条件是联合概率密度等于边缘概率密度的乘积,即f(x,y)=f X (x)f Y (y)(−∞<x<+∞−∞<y<+∞ )

定理:设随机变量X与Y相互独立,则(1)对任意常数a,b,c,d,事件{a<X<b}与{c<Y<d}相互独立;(2)对任意常数a,b,c,d,随机变量aX+b与cY+d相互独立;(3)X 2 与Y 2 相互独立;(4)对任意连续函数h,g,随机变量h(X)与g(Y)相互独立.

例1.第二节例1中的随机变量X与Y不相互独立,因为p 11 =16 ,而p 1⋅ =16 ,p ⋅1 =12 ,p 11 ≠p 1⋅ p ⋅1

例1.设(X,Y)的联合分布律为

X123456 Y 11/601/601/60 201/601/601/6

例2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)={xe −(x+y) ,x>0,y>0,0,其它

问X与Y是否相互独立?

解:f X (x)=∫ +∞ −∞ f(x,y)dy=∫ +∞ 0 f(x,y)dy=∫ +∞ 0 xe −x e −y dy=xe −x ∫ 0 +∞ de −y =xe −x [e −y ] 0 +∞ =xe −x (x>0)

即f X (x)={xe −x ,x>0,0,x≤0

f Y (y)=∫ +∞ −∞ f(x,y)dx=∫ +∞ 0 f(x,y)dx=∫ +∞ 0 e −y xe −x dx=e −y ∫ +∞ 0 (−x)de −x =e −y [(−xe −x ) +∞ 0 −∫ +∞ 0 e −x d(−x)]=e −y [−(e −x ) +∞ 0 ]=e −y (y>0)

即f Y (y)={e −y ,y>0,0,y≤0

对于任意x,y有f(x,y)=f X (x)f Y (y),即X与Y相互独立.

例3.设X与Y独立,f X (x)={1,0≤x≤1,0,其它 f Y (y)={e −y ,y>0,y≤0,

求P{0<X<12 ,0<Y<2}.

解:P{0<X<12 ,0<Y<2}=P{0<X<12 }P{0<Y<2}=∫ 12 0 f X (x)dx⋅∫ 2 0 f Y (y)dy=∫ 12 0 1dx∫ 2 0 e −y dy=12 (1−e −2 )

例4.设(X,Y)∼N(μ 1 ,μ 2 ,σ 2 1 ,σ 2 2 ,ρ),证明X与Y相互独立的充分必要条件是ρ=0.

证明:f(x,y)=12πσ 1 σ 2 1−ρ 2 − − − − − √ e −12(1−ρ 2 ) [(x−μ 1 ) 2 σ 2 1 −2ρ(x−μ 1 )(y−μ 2 )σ 1 σ 2 +(y−μ 2 ) 2 σ 2 2 ] ①充分性,假设ρ=0,则有f(x,y)=12πσ 1 σ 2 e −(x−μ 1 ) 2 2σ 2 1 −(y−μ 2 ) 2 2σ 2 2 ,而f X (x)=12π − − √ σ 1 e −(x−μ 1 ) 2 2σ 2 1 ,f Y (y)=12π − − √ σ 2 e −(y−μ 2 ) 2 2σ 2 2 ,于是f(x,y)=f X (x)f Y (y),即X与Y相互独立.②必要性:假设X与Y相互独立,即对任意x,y有f(x,y)=f X (x)f Y (y),即12πσ 1 σ 2 1−ρ 2 − − − − − √ e −12(1−ρ 2 ) [(x−μ 1 ) 2 σ 2 1 −2ρ(x−μ 1 )(y−μ 2 )σ 1 σ 2 +(y−μ 2 ) 2 σ 2 2 ] =12π − − √ σ 1 e −(x−μ 1 ) 2 2σ 2 1 12π − − √ σ 2 e −(y−μ 2 ) 2 2σ 2 2 特别的,令x=μ 1 ,y=μ 2 ，则得12πσ 1 σ 2 1−ρ 2 − − − − − √ =12πσ 1 σ 2 从而有ρ=0

§3.5两个随机变量的函数的分布

定义:设(X,Y)是二维随机变量,z=f(x,y)是二元函数,若当(X,Y)取值(x,y)时,随机变量Z取值为z=f(x,y),则称Z是X,Y的函数,记作Z=f(X,Y).

一、Z=X+Y的分布

例1.设X,Y相互独立,X∼π(λ 1 ),Y∼π(λ 2 ),求Z=X+Y的分布.

解:Z=X+Y的可取值为0,1,2,⋯,对任意正整数k,有P{Z=k}=P{X+Y=k}=P(∑ i=0 k {X=i,Y=k−i})=∑ i=0 k P{X=i,Y=k−i}=∑ i=0 k P{X=i}P{Y=k−i}=∑ i=0 k λ i 1 e −λ 1 i! λ k−i 2 e −λ 2 (k−i)! =e −(λ 1 +λ 2 ) ∑ i=0 k k!i!(k−i)! λ i 1 λ k−i 2 ⋅1k! =(λ 1 +λ 2 ) k k! e −(λ 1 +λ 2 ) ,即Z=X+Y∼π(λ 1 +λ 2 ).

设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为F Z (z)=P{Z≤z}=∬ x+y≤z f(x,y)dxdy=∫ +∞ −∞ [∫ z−x −∞ f(x,y)dy]dx由于∫ z−x −∞ f(x,y)dy= y=u−x ∫ z −∞ f(x,u−x)du,所以F Z (z)=∫ +∞ −∞ [∫ z −∞ f(x,u−x)du]dx= 假设 ∫ z −∞ [∫ +∞ −∞ f(x,u−x)dx]du,从而得到Z=X+Y的概率密度为f Z (z)=∫ +∞ −∞ f(x,z−x)dx(−∞<z<+∞)同理可得f Z (z)=∫ +∞ −∞ f(z−y,y)dy(−∞<z<+∞)

当X与Y相互独立时,有f Z (z)=∫ +∞ −∞ f X (z−y)f Y (y)dy,或f Z (z)=∫ +∞ −∞ f X (x)f Y (z−x)dx.

例2.设X,Y相互独立,均服从标准正态分布,求Z=X+Y的概率密度.

解:f X (x)=12π − − √ e −x 2 2 ,−∞<x<+∞,f Y (y)=12π − − √ e −y 2 2 ,−∞<y<+∞,f Z (z)=f X ∗f Y =∫ +∞ −∞ f X (x)f Y (z−x)dx=∫ +∞ −∞ 12π − − √ e −x 2 2 12π − − √ e −(z−x) 2 2 dx=12π e −z 2 4 ∫ +∞ −∞ e −(x−z2 ) 2 dx=12π e −z 2 4 ∫ +∞ −∞ e −t 2 dt=12π e −z 2 4 π √ =12π − − √ 2 √ e −z 2 2(2 √ ) 2 即Z=X+Y∼N(0,(2 √ ) 2 ).

例3.设X与Y相互独立,且都在区间(0,1)上服从均匀分布,求Z=X+Y的概率密度.

解:f X (x)={1,0<x<1,0,其它 f Y (y)={1,0<y<1,0,其它.

由卷积公式有f Z (z)=∫ +∞ −∞ f X (z−y)f Y (y)dy=∫ 1 0 f X (z−y)dy= t=z−y ∫ z z−1 f X (t)dt

(1)当z<0时,z−1<0,此时f Z (z)=0.

(2)当0≤z<1时,z−1<0,此时f Z (z)=∫ z 0 1dt=z.

(3)当1≤z<2时,0≤z−1<1,此时f Z (z)=∫ 1 z−1 1dt=2−z.

(4)当z≥2时,z−1≥1,此时f Z (z)=0.

因此f Z (z)=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ z,0≤z<1,2−z,1≤z<2,0,z≥2或z<0.

例4.设随机变量X和Y相互独立,并且都服从正态分布N(0,σ 2 )(σ>0),求Z=x 2 +y 2 − − − − − − √ 的分布.

解:f X (x)=12π − − √ σ e −x 2 2σ 2 ,−∞<x<+∞f Y (y)=12π − − √ σ e −y 2 2σ 2 ,−∞<y<+∞f(x,y)=f X (x)f Y (y)=12πσ e −x 2 +y 2 2σ 2 F Z (z)=P{Z≤z}=P{x 2 +y 2 − − − − − − √ ≤z}=∬ x 2 +y 2 √ ≤z f(x,y)dxdy=∬ x 2 +y 2 √ ≤z 12πσ 2 e −x 2 +y 2 2σ 2 dxdy=12π ∫ 2π 0 dθ∫ z 0 1σ 2 e −r 2 2σ 2 rdr=1−e −z 2 2σ 2 当z≤0时,F Z (z)=P{X 2 +Y 2 − − − − − − − √ ≤z}=P(ϕ)=0.

综上F Z (z)=⎧ ⎩ ⎨ 1−e −z 2 2σ 2 ,z≥0,0,z<0

从而得到Z的密度为

f Z (z)=⎧ ⎩ ⎨ zσ 2 e −z 2 2σ 2 ,z≥0,0,z<0