概率统计D 01.01 随机事件及其运算

第一章随机事件与概率

自然界中各种现象可区分为两种:确定性与随机性现象.

确定性现象 :在一定条件下必然会出现得现象.

随机性现象 :在一定的条件下,可能出现多种结果,而在实验之前无法预知其确切的结果,也无法控制.

概率统计是研究和揭示随机现象统计规律的一门学科.

§1.1随机事件及其运算

一、随机试验与随机事件

随机试验：具有以下特点的试验称为随机试验:

①试验可以在相同条件下重复进行;

②试验可能出现的结果不只一个,在试验之前知道所有的结果;

③在试验之前不能准确预料哪一个结果出现.

例如:

E 1 :抛一枚硬币，观察正、反面出现的情况.E 2 :掷一颗骰子,观察出现的点数.E 3 :向一个靶子发射一颗子弹,观察打中的环数.E 4 :检查一大批灯泡的寿命.

基本事件(样本点,e或ω) :一次试验可能出现的每一个直接的结果,也就是随机试验不能够再分解的结果.

如:E 1 有两个基本事件:e 1 ={出现正面},e 2 ={出现反面}.

E 2 有六个基本事件:e i ={出现i点},i=1,2,⋯,6.

基本空间(样本空间,Ω或S或U):全体基本事件的集合.

如E 1 的基本空间为Ω={e 1 ,e 2 };E 2 的基本空间为Ω={e 1 ,e 2 ,e 3 ,e 4 ,e 5 ,e 6 }或Ω={1,2,3,4,5,6}.

随机事件:试验的每一个可能结果.用大写字母A,B,C等表示.

随机事件也就是基本空间的子集,即若干基本事件做成的集合.

如在E 2 中,“出现偶数点”的事件可表示为A={2,4,6},“出现奇数点”的事件可表示为B={1,3,5},

而C={1,2,3}表示“出现的点数不超过3".

事件发生:当事件A所包含的基本事件有一个出现,就说事件A发生了，否则就说事件A未发生.

必然事件:一定发生的事件,也就是基本空间Ω.

不可能事件:一定不会发生的事件.记为ϕ.

二、事件的关系与运算

试验E的基本空间为Ω,A、B、A k (k=1,2,⋯,)为E中的事件

1.包含:如果事件A发生必然导致事件B发生.则称事件B包含事件A,记作A⊂B或B⊃A

A⊂B就是在A中的基本事件,一定都含在B中,对任一事件A都有ϕ⊂A⊂Ω.

2.相等:如果有A⊂B,B⊂A同时成立,则称事件A与事件B相等,记作A=B或B=A.就是事件A与事件B所包含的基本事件完全相同.

3.事件的和:“事件A与事件B至少有一个发生”,这样的一个事件称为事件A与事件B的和或并,记作A∪B.

A∪B就是把事件A与事件B所包含的基本事件放在一起作成的事件.

在E 2 中,A={2,4,6},C={1,3,5},A∪C={1,2,3,4,5,6}.

对于任一事件A,有A∪A=A,A∪ϕ=A,A∪Ω=Ω.

4.事件的积:事件A与事件B同时发生.这样的事件称为事件A与事件B的积或交,记为A∩B或AB.

AB就是把事件A与事件B所共有的基本事件放在一起作成的事件.

在E 2 中,AC={2},BC={1,3},AB=ϕ.

对于任一事件A,有AA=A,AΩ=A,Aϕ=ϕ

事件的和与事件的积可以推广到多个事件的情形:

事件A 1 ,A 2 ,⋯,A n 的和事件记作A 1 ∪A 2 ∪⋯∪A n 或⋃ i=1 n A i ,

⋃ i=1 n A i :表示事件A 1 ,A 2 ,⋯,A n 中至少有一个事件发生.

事件A 1 ,A 2 ,⋯,A n 的积事件记作A 1 ∩A 2 ∩⋯∩A n 或⋂ i=1 n A i ,

⋂ i=1 n A i :表示事件A 1 ,A 2 ,⋯,A n 同时发生.

可数无穷多个事件A 1 ,A 2 ,⋯,A i ,⋯的和与积分别记作⋃ i=1 ∞ A i 与⋂ i=1 ∞ A i ,

⋃ i=1 ∞ A i :表示事件A 1 ,A 2 ,⋯,A i ,⋯中至少有一个发生;⋂ i=1 ∞ A i :表示事件A 1 ,A 2 ,⋯,A i ,⋯同时发生.

5.事件的差:事件A发生而事件B不发生,这样的事件称为事件A与事件B的差,记作A−B.

如在E 2 中,A−C={4,6}.

对于任一事件A,有A−A=ϕ,A−ϕ=A,A−Ω=ϕ.

A−B就是A的基本事件中去掉含在B中的,余下的基本事件作成的事件.

6.互不相容(互斥):若事件A与事件B不可能同时发生(即AB=ϕ),则称事件A与事件B互不相容或互斥.

A与B互不相容,就是A与B不含有公共基本事件.

当事件A与B互不相容时,A∪B,记作A+B.

7.对立(互逆):若A事件与B事件有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且AB=ϕ,则称事件A与事件B为对立事件或互逆事件,其中事件B叫做事件A的逆事件,记作B=A ¯ ,事件A叫做事件B的逆事件,记作A=B ¯ .

如在E 2 中,A与B互逆.

8.运算规律:

(1)A∪B=B∪A,A∩B=B∩A.

(2)(A∪B)C=AC∪BC,(AB)∪C=(A∪C)(B∪C).

(3)A∪B ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =A ¯ ∪B ¯ ,⋃ k=1 ∞ A k ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =⋂ k=1 n A k ¯ .

(4)A∩B ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =A ¯ ∪B ¯ ,⋂ k=1 ∞ A k ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =⋃ k=1 ∞ A k ¯

(5)A−B=A−AB=AB ¯ .

例:某工人加工三个零件,设A i 表示事件:第i个零件是合格品(i=1,2,3)，试用A 1 ,A 2 ,A 3 表示下列事件:(1)只有第一个零件是合格品;(2)只有一个零件是合格品;(3)至少有一个零件是合格品;(4)最多有一个零件是合格品.

解:四个事件分别为A,B,C,D,则有:(1)A=A 1 A 2 ¯ A 3 ¯ (2)B=A 1 A 2 ¯ A 3 ¯ ∪A 1 ¯ A 2 A 3 ¯ ∪A 1 ¯ A 2 ¯ A 3 ;(3)C=A 1 ∪A 2 ∪A 3 (C ¯ =A 1 ¯ A 2 ¯ A 3 ¯ );(4)D=A 1 ¯ A 2 ¯ A 3 ¯ ∪B=A 1 ¯ A 2 ¯ A 3 ¯ ∪A 1 A 2 ¯ A 3 ¯ ∪A 1 ¯ A 2 A 3 ¯ ∪A 1 ¯ A 2 ¯ A 3 或D=A 1 ¯ A 2 ¯ ∪A 1 ¯ A 3 ¯ ∪A 2 ¯ A 3 ¯