[HNOI 2015]实验比较

Description

小D 被邀请到实验室，做一个跟图片质量评价相关的主观实验。实验用到的图片集一共有 N 张图片，编号为 1 到 N。实验分若干轮进行，在每轮实验中，小 D会被要求观看某两张随机选取的图片， 然后小D 需要根据他自己主观上的判断确定这两张图片谁好谁坏，或者这两张图片质量差不多。 用符号“<”、“>”和“=”表示图片 x和y（x、y为图片编号）之间的比较：如果上下文中 x 和 y 是图片编号，则 x<y 表示图片 x“质量优于”y，x>y 表示图片 x“质量差于”y，x=y表示图片 x和 y“质量相同”；也就是说，这种上下文中，“<”、“>”、“=”分别是质量优于、质量差于、质量相同的意思；在其他上下文中，这三个符号分别是小于、大于、等于的含义。图片质量比较的推理规则（在 x和y是图片编号的上下文中）：（1）x < y等价于 y > x。（2）若 x < y 且y = z，则x < z。（3）若x < y且 x = z，则 z < y。（4）x=y等价于 y=x。（5）若x=y且 y=z，则x=z。 实验中，小 D 需要对一些图片对(x, y)，给出 x < y 或 x = y 或 x > y 的主观判断。小D 在做完实验后， 忽然对这个基于局部比较的实验的一些全局性质产生了兴趣。在主观实验数据给定的情形下，定义这 N 张图片的一个合法质量序列为形如“x1 R1 x2 R2 x3 R3 …xN-1 RN-1 xN”的串，也可看作是集合{ xi Ri xi+1|1<=i<=N-1}，其中 xi为图片编号，x1,x2,…,xN两两互不相同（即不存在重复编号），Ri为<或=，“合法”是指这个图片质量序列与任何一对主观实验给出的判断不冲突。 例如： 质量序列3 < 1 = 2 与主观判断“3 > 1，3 = 2”冲突（因为质量序列中 3<1 且1=2，从而3<2，这与主观判断中的 3=2 冲突；同时质量序列中的 3<1 与主观判断中的 3>1 冲突） ，但与主观判断“2 = 1，3 < 2” 不冲突；因此给定主观判断“3>1，3=2”时，1<3=2 和1<2=3 都是合法的质量序列，3<1=2 和1<2<3都是非法的质量序列。由于实验已经做完一段时间了，小D 已经忘了一部分主观实验的数据。对每张图片 i，小 D 都最多只记住了某一张质量不比 i 差的另一张图片 Ki。这些小 D 仍然记得的质量判断一共有 M 条（0 <= M <= N），其中第i 条涉及的图片对为(KXi, Xi)，判断要么是KXi < Xi ，要么是KXi = Xi，而且所有的Xi互不相同。小D 打算就以这M 条自己还记得的质量判断作为他的所有主观数据。现在，基于这些主观数据，我们希望你帮小 D 求出这 N 张图片一共有多少个不同的合法质量序列。我们规定：如果质量序列中出现“x = y”，那么序列中交换 x和y的位置后仍是同一个序列。因此： 1<2=3=4<5 和1<4=2=3<5 是同一个序列， 1 < 2 = 3 和 1 < 3 = 2 是同一个序列，而1 < 2 < 3 与1 < 2 = 3是不同的序列，1<2<3和2<1<3 是不同的序列。由于合法的图片质量序列可能很多， 所以你需要输出答案对10^9 + 7 取模的结果

Input

第一行两个正整数N,M，分别代表图片总数和小D仍然记得的判断的条数；
接下来M行，每行一条判断，每条判断形如”x < y”或者”x = y”。

Output

输出仅一行，包含一个正整数，表示合法质量序列的数目对 10^9+7取模的结果。

Sample Input

5 4

1 < 2

1 < 3

2 < 4

1 = 5

Sample Output

5

HINT

不同的合法序列共5个，如下所示：

1 = 5 < 2 < 3 < 4
1 = 5 < 2 < 4 < 3
1 = 5 < 2 < 3 = 4
1 = 5 < 3 < 2 < 4
1 = 5 < 2 = 3 < 4
100%的数据满足N<=100。

题解

做之前偷瞄了一眼标签，想的时候就直接往上靠了，并不是很难想。

首先一个值得肯定的条件就是，如果出现 $u$ '=' $v$ ，显然 $u$ 和 $v$ 可以缩成一个点。用并查集辅助。

若我们将 $u$ '<' $v$ 看成是一条 $u->v$ 的有向边，注意到题目说的对于每个点，只有一个“前驱”（缩点后也只有一个前驱），所以说如何合法的话这些节点和边构成了一些树形图的森林。

我们建立 $0$ 节点，来使森林联通，遍历整棵树，除去不合法的情况。

现在问题就变成了给你一棵树，让你生成一个包含所有数且两个数之间用 '=' 或 '<' 号连接的序列。保证父亲总比儿子先在序列中出现，同一棵子树的内部用 '<' 连接；不同儿子的子树间用 '=' 或 '<' 连接。问方案数。

考虑这样一个问题：若只能用 '<' 连接。这个问题将极度简化，我们记 $f_u$ 表示在以 $u$ 节点为根的子树中的方案数。$f_u$ 可起到临时存中间变量的作用。

枚举儿子节点 $v$ 的时候，我们用 $tol$ 表示已处理过的子树的总大小： $$f_u = f_u*f_v*C_{tol+f_v}^{f_v}$$

现在考虑原问题。由于子树间的等号关系不好处理，我们可以将其放到状态中，我们记 $f_{u, k}$ 为在以 $u$ 为根的子树中生成的序列含有 $k$ 个 '<' 的方案数。

现在我们还是考虑 $dp$ 。

假设已处理过的子树总 $size$ 为 $a$ ，记录下来的 $dp$ 值存在 $p_i$ 中，正在处理的子树的 $size$ 为 $b$ ，记录下来的 $dp$ 值存在 $q_i$ 中。

由题，合并后的 '<' 的个数介于 $max(a, b)$ 和 $a+b$ 之间。

我们枚举 $i <= a, j <= b$，同理合并后的 '<' 的个数介于 $max(i, j)$ 和 $i+j$ 之间。现在相当于将 $i$ 个白球， $j$ 个黑球放入 $k$ 个盒子中，且同个盒子不能有相同颜色的球，盒子不能空。

$$f_{u, k} += \sum_{i = 1}^a \sum_{j = 1}^b p_i*q_j*C_k^i*C_i^{j-(k-i)}$$

其中 $C_k^i$ 表示在 $k$ 个盒子中选出 $i$ 个放白球，因为所有盒子都要放球，所以剩下的 $k-i$ 个盒子必定放黑球，剩下 $j-(k-i)$ 个黑球要放在 $i$ 个放白球的盒子中。

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#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <queue>
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#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define LD long double
#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
using namespace std;
const int N = 100;
const int MOD = 1e9+7;

int fa[N+5], n, m, pre[N+5], u, v, vis[N+5], rt[N+5], C[N+5][N+5], f[N+5][N+5], size[N+5];
char ch[5];
struct tt {
int to, next;
}edge[N+5];
int path[N+5], top;

int find(int r) {
return fa[r] ? fa[r] = find(fa[r]) : r;
}
void add(int u, int v) {
edge[++top].to = v;
edge[top].next = path[u];
path[u] = top;
}
void dfs(int u) {
int g[N+5], flag = 0;
for (int I = path[u]; I; I = edge[I].next) {
memset(g, 0, sizeof(g)); dfs(edge[I].to);
if (flag) {
for (int i = 1; i <= size[u]; i++)
if (f[u][i])
for (int j = 1; j <= size[edge[I].to]; j++)
if (f[edge[I].to][j])
for (int k = Max(i, j); k <= i+j; k++)
g[k] = (g[k]+(LL)f[u][i]*f[edge[I].to][j]%MOD*C[k][i]%MOD*C[i][j-(k-i)]%MOD)%MOD;
size[u] += size[edge[I].to];
for (int i = 1; i <= size[u]; i++) f[u][i] = g[i];
}else {
flag = 1, size[u] += size[edge[I].to];
for (int i = 1; i <= size[u]; i++) f[u][i] = f[edge[I].to][i];
}
}
if (!flag) f[u][0] = 1;
++size[u];
for (int i = size[u]; i; i--) f[u][i] = f[u][i-1];
}
bool judge(int u) {
if (vis[u]) return false; vis[u] = 1;
for (int i = path[u]; i; i = edge[i].next) if (!judge(edge[i].to)) return false;
return true;
}
void work() {
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 0; i <= n; i++) {
C[i][0] = 1;
for (int j = 1; j <= i; j++) C[i][j] = (C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%MOD;
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
scanf("%d%s%d", &u, ch, &v);
if (ch[0] == '=') {
int p = find(u), q = find(v);
if (p != q) fa[p] = q, rt[p] = 1, pre[q] = Max(pre[q], pre[p]);
}else pre[v] = u;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) if (!rt[i]) add(find(pre[i]), i);
for (int i = 0; i <= n; i++) if (!vis[i]) if (!judge(i)) {printf("0\n"); return; }
dfs(0);
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= size[0]; i++) ans = (ans+f[0][i])%MOD;
printf("%d\n", ans);
}
int main() {
work();
return 0;
}