8.3 证明吝啬SAT问题是NP-完全问题

吝啬SAT问题是这样的：给定一组子句（每个子句都是其中文字的析取）和整数k，求一个最多有k个变量为true的满足赋值——如果该赋值存在。证明吝啬问题是NP-完全问题。

这道题，我的思路是：首先证明吝啬SAT问题是是NP问题，然后用归约的方法：由已知的NP完全问题（SAT问题）归约到该问题，并证明归约的过程的时间复杂度为多项式时间复杂度。

证明过程：

我们假设(f,k)为吝啬SAT的一个实例，x为一组赋值，也就是说，f是SAT的一个实例（包含k个变量）。因为吝啬SAT问题是SAT问题的一个变种，而且任何一个解都可以在多项式的时间内求解，所以吝啬SAT问题是NP问题 。 

要证SAT规约到吝啬SAT，即证： x是f的解 当且仅当 x是(f,k)的解  

如果x是f的解，则至多有k个变量为真，x赋给(f,k)也为真，所以x是(f,k)的解 
 
如果x是(f,k)的解，该吝啬SAT问题解中值为true的变量的数量也小于等于k，所以x也是f的解 

综上所述，吝啬SAT问题是NP-完全问题。