POJ3532_Resistance_高斯消元&&基尔霍夫定律（高中物理）

题意

N 个点被 M 根带有电阻的导线连接起来。问 1 和 N 之间的等效电阻是多少。

思路

基尔霍夫定律

大意就是：除了起点和终点之外，电路中任何一个点的流入电流和流出电流相等。如果记流出电流Ii为正，流入电流Ii为负，则在任意一点处有 sigma Ii = 0.

基于这条定律，可以得到n个方程。

1：sigma Ii = 1（可取任意正数，1 方便一些）

2..N : sigma Ii = 0

N : sigma Ii = -1

接下来可以顺势求出每根导线上的电流，然后任意找一条 1 到 N 的通路，这条路上的电压之和就是总电压。U/I = R 得出等效电阻。

（实际上弱并没有把这个思路写出来）

弱感觉接下来的解法更优美一些。

每一根导线上的电流值 = 两端点的电势差 / 这根导线上的电阻。于是有

sigma Ii = sigma (u - Ui) / Ri = 0（u这个点的电势， Ui与这个点相连的其他点的电势）

然后把每个方程整理一下，就成了 n 个方程求解 n 个未知数的问题了。求解出来的向量表示各点的相对电势差。因为一开始设电路中的总电流为 1， 所以 等效电压 = (X[0] - X[n-1]) / 1 。

链接

http://poj.org/problem?id=3532

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cmath>

using namespace std;

const int maxn = 100 + 10;
const double eps = 1e-8;

int n, m;
double A[maxn][maxn], X[maxn];
double R[maxn][maxn];

int Guass()
{
int equ = n, var = n;

for(int k= 0, col= 0; k< equ && col< var; k++, col++)
{
int max_r = k;
for(int i= k+1; i< equ; i++)
if(fabs(A[i][col]) > fabs(A[max_r][col]))
max_r = i;

if(fabs(A[max_r][col]) < eps){
for(int i = k; i < equ; ++i){
if(X[i] > eps) return -1;
}
return 0;
}

if(k != max_r)
{
for(int j= col; j< var; j++)
swap(A[k][j], A[max_r][j]);
swap(X[k], X[max_r]);
}

X[k] /= A[k][col];
for(int j= col+1; j< var; j++)
A[k][j] /= A[k][col];
A[k][col] = 1;

for(int i= 0; i< equ; i++)
if(i != k)
{
X[i] -= X[k] * A[i][k];
for(int j= col+1; j< var; j++)
A[i][j] -= A[k][j] * A[i][col];
A[i][col] = 0;
}
}

for(int i = 0; i < n; ++i){
if(A[i][i] == 0 && X[i] != 0) return -1;
}

return 1;
}

int main(){
while(scanf("%d %d", &n, &m) == 2){
memset(A, 0, sizeof A);
memset(X, 0, sizeof X);
X[0] = 1, X[n-1] = -1;

for(int i = 0; i < m; ++i){
int a, b, r;
scanf("%d %d %d", &a, &b, &r);
--a, --b;

double I = 1.0 / r;
R[a][b] = R[b][a] += I;
}

for(int i = 0; i < n; ++i){
for(int j = i+1; j < n; ++j){
if(R[i][j] != 0){
A[i][i] += R[i][j], A[j][j] += R[i][j];
A[i][j] = A[j][i] = -1.0 * R[i][j];
}
}
}

Guass();

printf("%.2f\n", X[0] - X[n-1]);
}

return 0;
}