bzoj2324 [ZJOI2011]营救皮卡丘（Floyd+费用流，DAG最小权路径覆盖）

首先我们考虑最后的k条路线可能长成什么样子：

一定是0->x1->…->xn，x1< x2<…< xn的样子。也就是说我们只需用最多k条这样的路径，覆盖所有点即可。我们一定可以通过安排顺序，使得所有访问都合法。每个点都可以经过多次，我们想到需要预处理两点之间最短距离，且还要满足合法条件。可以用floyd预处理，在用mp[i][k]+mp[k][j]更新mp[i][j]时,保证k< j即可。mp[i][j]的意义就是第一次访问i，此条路线的下一个第一次访问的位置为j的最小花费。我们建图时强制i->j,i< j，那么我们就得到了一张DAG.

现在的问题就是用最多k条路径，覆盖DAG的所有点，要求路径边权和最小。可以这样建图：把每个点拆成入点i和出点i+n（0只有出点即可）。

S->0,k,0.表示最多k条路径

S->i+n,1,0，表示第一次访问到i之后

i->T,1,0.表示第一次到i。

每条边i->j,mp[i][j]，建边i+n->j,1,mp[i][j]。表示访问过i之后第一次去j

此图满流即是合法方案，所以直接跑最小费用最大流就好啦。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 310
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*f;
}
int n,m,K,h
,num=1,dis
,path
,S=301,T=302,mp[200][200],ans=0;
bool inq
;
struct edge{
int to,next,c,w;
}data[25000];
inline void add(int x,int y,int w,int c){
data[++num].to=y;data[num].next=h[x];h[x]=num;data[num].w=w;data[num].c=c;
data[++num].to=x;data[num].next=h[y];h[y]=num;data[num].w=0;data[num].c=-c;
}
inline bool spfa(){
deque<int>q;memset(path,0,sizeof(path));memset(dis,inf,sizeof(dis));
q.push_back(S);dis[S]=0;inq[S]=1;
while(!q.empty()){
int x=q.front();q.pop_front();inq[x]=0;
for(int i=h[x];i;i=data[i].next){
int y=data[i].to;if(!data[i].w) continue;
if(dis[x]+data[i].c<dis[y]){
dis[y]=dis[x]+data[i].c;path[y]=i;
if(!inq[y]){
if(!q.empty()&&dis[y]<dis[q.front()]) q.push_front(y);
else q.push_back(y);inq[y]=1;
}
}
}
}return path[T];
}
int main(){
//  freopen("a.in","r",stdin);
n=read();m=read();K=read();add(S,0,K,0);memset(mp,inf,sizeof(mp));
for(int i=1;i<=n;++i) add(S,i+n,1,0),add(i,T,1,0);
while(m--){
int x=read(),y=read();mp[x][y]=mp[y][x]=min(read(),mp[x][y]);
}for(int k=0;k<=n;++k)
for(int i=0;i<=n;++i)
for(int j=0;j<=n;++j){
if(k>j) continue;
mp[i][j]=min(mp[i][j],mp[i][k]+mp[k][j]);
}
for(int i=1;i<=n;++i) if(mp[0][i]!=inf) add(0,i,1,mp[0][i]);
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=i+1;j<=n;++j){
if(mp[i][j]==inf) continue;
add(i+n,j,1,mp[i][j]);
}
while(spfa()){
int now=T,low=inf;
while(path[now]) low=min(low,data[path[now]].w),now=data[path[now]^1].to;
ans+=low*dis[T];now=T;
while(path[now]) data[path[now]].w-=low,data[path[now]^1].w+=low,now=data[path[now]^1].to;
}printf("%d\n",ans);
return 0;
}