Binary Search and Euclid Algorithm

#include<iostream>
using namespace std;

/*

Performs the standard binary search using two comparisons per level.

Returns index where item is found or -1 if not found.

*/

const int NOT_FOUND = -1;

template<typename Comparable>

int binarySearch(const vector<Comparable>&a, const Comparable&x)

{

 int low = 0, high = a.size() - 1;
 while (low <= high)

 {

  int mid = (low + high) / 2;
  if (a[mid] < x)

  {

   low = mid + 1;

  }

  else if (a[mid] > x)

  {

   high = mid - 1;

  }

  else

  {

   return mid;  //found

  }

 }
 return NOT_FOUND;

}
/*

Euclid's Algorithm

Euclid's Algorithm for computing the greatest common divisor

*/
long long gcd(long long m, long long n)

{

 while (n != 0)

 {

  long long rem = m%n;

  m = n;

  n = rem;

 }

 return m;

}

欧几里得算法的思想

欧几里得算法的思想基于辗转相除法的原理，辗转相除法是欧几里得算法的核心思想，欧几里得算法说白了其实就是辗转相除法的计算机算法的事项而已。如果gcd（a，b）来表示a和b的最大公约数，那么根据辗转相除法的原理，有gcd（a，b）=gcd（b，a mod（b）），其中mod（）表示模运算，并且不妨让a》b这样方便模运算。

辗转相除法的正确性gcd（a，b）=gcd（b，a mod（b））的证明：

第一步：令c为a和b的最大公约数，数学符号表示为c=gcd（a，b）。因为任何俩个实数的最大公约数的最大公约数c一定是存在的，也就是说必然存在俩个数k1，k2使得a=k1*c，b=k2*c

第二步：a mod（b）等价于存在整数r，k3使得余数r=a-k3*b；

 r=a-k3*b=k1*c-k3*k2*c=（k1-k3*k2）c；

 显然，a和b的余数r是最大公因数c的倍数。