背包问题的动态规划算法和fptas

背包问题

instance：给定n个item，i=1,2,…,n; weights w1,w2,…,wn∈Z+; values v1,v2,…,vn∈Z+, 给定背包容量B∈Z+;

需要找到一个集合S∈{1,2,…,n} 让背包里面的东西value最大。

1.贪心算法

根据viwi的大小排序，每次放进去性价比高的item，直到不能放为止。

2.动态规划

定义：

A(i,v)代表从s∈{1,2,…,i}里找到价值为v的最小的w和；如果这个集合s找不到，那么+∞.

显然我们有：

A(i,v)=min{A(i−1,v),A(i−1,v−vi)+wi}

接下来我们就可以填表格似的求出max v such that A(n,v)≤B.

接下来分析这个算法，这个算法需要填的表的大小是n×V,其中V=∑ni=1vi,因此这个算法时间复杂度是O(n×V).

问题的规模是n的，V不是n的多项式，所以这个算法不是polynomial time的。这个是伪多项式时间的算法。

3.fptas（Fully Polynomial-Time Approximation Scheme）

完全多项式时间近似方案。就是无论多小的ϵ,都能够找到一个多项式时间的算法使得它的approximation ratio>1−ϵ,(或者小于1+)。

对于这个背包问题，我们可以观察到伪多项式算法只是由于V不是多项式的，因此可以把V化成n的多项式相关的，令：

v̂ i=⌊viK⌋

然后利用动态规划算法，求出这个新v̂ 集合的收益最大的集合Ŝ . 假设opt最优的集合为O

显然有：

∑i∈Ŝ v̂ i≥∑i∈Ov̂ i

so：

K×∑i∈Ŝ v̂ i≥K×∑i∈Ov̂ i

又有：

⌊viK⌋>viK−1

So:

K×v̂ i>vi−K

So:

K×∑i∈Ov̂ i=∑i∈OK×v̂ i≥∑i∈O(vi−K)≥opt−nK

if we want:

solopt>1−ϵ

then we want:

opt−nKopt≥1−ϵ

then:

n×Kopt≤ϵ

我们只需要找到opt的最小值即可。

那么opt显然是大于能放进这个背包中的物体中最大的那一个价值的。

记为P

Then:

K=ϵ×Pn

分析一下它的时间复杂度：

∑i∈Sv̂ i=∑i∈S⌊vi/K⌋<⌊∑i∈Svi/k⌋

And:

∑i∈Svi/P<n

Then:

v̂ <n×nϵ

因此时间复杂度为：O(n3/ϵ)