bzoj4518[Sdoi2016]征途 斜率优化dp

4518: [Sdoi2016]征途

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Description

Pine开始了从S地到T地的征途。 从S地到T地的路可以划分成n段，相邻两段路的分界点设有休息站。 Pine计划用m天到达T地。除第m天外，每一天晚上Pine都必须在休息站过夜。所以，一段路必须在同一天中走完。 Pine希望每一天走的路长度尽可能相近，所以他希望每一天走的路的长度的方差尽可能小。 帮助Pine求出最小方差是多少。 设方差是v，可以证明，v×m^2是一个整数。为了避免精度误差，输出结果时输出v×m^2。  

Input

第一行两个数 n、m。 第二行 n 个数，表示 n 段路的长度  

Output

 一个数，最小方差乘以 m^2 后的值

 

Sample Input

5 2
1 2 5 8 6

Sample Output

36

HINT

 

1≤n≤3000,保证从 S 到 T 的总路程不超过 30000

 

Source

鸣谢Menci上传

 

推公式
设s1[i]=1+2+...+i x=s1
/m
方差v=((x1-x)^2+(x2-x)^2+...+(xm-x)^2)/m
直接拆开所有平方
v*m^2=m*(x1^2+x2^2+...+xm^2)-2*(x1+x2+...+xm)^2-(m^2)*(x^2)
(m^2)*(x^2)=s1
^2 x1+x2+...+xm=s1
^2

ans=v*m^2=m*(x1^2+x2^2+...+xm^2)-s1
^2
其实化简之后发现 需要知道的是每一天的路程
那么考虑dp
dp[cur][i]=dp[cur-1][j]+(sum[i]-sum[j])^2
ans=dp[m]
*m-sum
^2

斜率优化
dp[j]+(sum[i]-sum[j]-x)^2<=dp[k]+(sum[i]-sum[k]-x)^2
dp[j]-2*(sum[i]-x)*sum[j]+sum[j]^2
<=dp[k]-2*(sum[i]-x)*sum[k]+sum[k]^2
2*sum[i]>=
(dp[j]-dp[k]+sum[j]^2-sum[k]^2)/(sum[j]-sum[k])

#include<cstdio>
const int MAXN=3e3+10;
int n,m;
int s[MAXN];
int q[MAXN],l,r;
long long f[MAXN][MAXN];
double count_y(int k,int j){return f[k][j-1]+s[k]*s[k];}
double count(int t,int k,int j){return (count_y(t,j)-count_y(k,j))/(s[t]-s[k]);}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;++i)
{
int x;
scanf("%d",&x);
s[i]=s[i-1]+x;
}
for(int i=1;i<=n;++i)f[i][1]=s[i]*s[i];
for(int j=2;j<=m;++j)
{
l=1,r=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
while(l<r&&count(q[l],q[l+1],j)<2*s[i])++l;
int temp=q[l];
f[i][j]=f[temp][j-1]+(s[i]-s[temp])*(s[i]-s[temp]);
while(l<r&&count(q[r],i,j)<count(q[r-1],q[r],j))--r;
q[++r]=i;
}
}
printf("%lld\n",f
[m]*m-(long long)s
*s
);
return 0;
}