[ZOJ2314]Reactor Cooling（无源汇有上下界的可行流+讲解）

题目：

我是超链接

题意：

一个核反应堆的冷却系统有n个结点，有m条单向的管子连接它们，管子内流量有上下界的要求，问能否使液体在整个系统中循环流动。

题解：

无源汇有上下界的可行流板子咯

建图方法：

建立源点ss，汇点tt

给两点之间添加上限-下限的流量

令d(i)表示所有流入i的边的下界和-所有流出i的边的下界和

若d(i)>0，那么s->i,d(i)

若d(i)<0，那么i->t,-d(i)

跑最大流，如果与 ss || tt 相连的边都能满留，就说明所有的下界都满足了，那么一定存在可行流。

流经x->y这条边的实际流量就是新图流量+这条边的流量下界

证明见下方普及向咯

代码：

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
#define INF 1e9
const int N=100005;
int tot,nxt
,point
,v
,remind
,dis
,cur
,in
,out
,sum,b
,pipe
;
void cl()
{
tot=-1;memset(nxt,-1,sizeof(nxt)); memset(point,-1,sizeof(point));
memset(in,0,sizeof(in)); memset(out,0,sizeof(out));sum=0;
}
void addline(int x,int y,int cap)
{
++tot; nxt[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y; remind[tot]=cap;
++tot; nxt[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x; remind[tot]=0;
}
int dfs(int now,int t,int limit)
{
if (now==t || !limit) return limit;
int flow=0,f;
for (int i=cur[now];i!=-1;i=nxt[i])
{
cur[now]=i;
if (dis[v[i]]==dis[now]+1 && (f=dfs(v[i],t,min(limit,remind[i]))))
{
flow+=f;
limit-=f;
remind[i]-=f;
remind[i^1]+=f;
if (!limit) break;
}
}
return flow;
}
bool bfs(int s,int t)
{
queue<int>q;
q.push(s);
memset(dis,0x7f,sizeof(dis));
dis[s]=0;
for (int i=s;i<=t;i++) cur[i]=point[i];
while (!q.empty())
{
int x=q.front(); q.pop();
for (int i=point[x];i!=-1;i=nxt[i])
if (dis[v[i]]>INF && remind[i])
{q.push(v[i]);dis[v[i]]=dis[x]+1;}
}
return dis[t]<INF;
}
int dinic(int s,int t)
{
int ans=0;
while (bfs(s,t)) ans+=dfs(s,t,INF);
return ans;
}
int main()
{
int T,n,m;
scanf("%d",&T);
while (T--)
{
cl();
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y,ll,cc;
scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&ll,&cc);
in[y]+=ll; out[x]+=ll;
addline(x,y,cc-ll);
pipe[i]=tot; b[i]=ll;
}
for (int i=1;i<=n;i++)
if (in[i]-out[i]>0)
addline(0,i,in[i]-out[i]),sum+=in[i]-out[i];
else addline(i,n+1,out[i]-in[i]);
int maxflow=dinic(0,n+1);
if (maxflow==sum)
{
printf("YES\n");
for (int i=1;i<=m;i++) printf("%d\n",remind[pipe[i]]+b[i]);
}
else printf("NO\n");
printf("\n");
}
}

普及向：

既然是有上下界的网络流，这里先安利一波优秀的学姐

这一类是无源汇有上下界的可行流，上方说了建图方法，这里来证明一波！

我们设一条边的上界c(u,v)，下界b(u,v)

首先一组正常的网络流应满足下面两条要求

∑f(u,i)=∑f(i,v)

0<=g(u,v)<=c(u,v)

我们应该也要遵循以前的这两条要求啊，那就把把上界改成c(u,v)−b(u,v)，下界还是0，其实不难理解，这不就是ta可以增流的范围吗，这样我们建出来一个新图

这样实际的流量f=下界+新图的流量，即f(u,v)=b(u,v)+g(u,v)

但这样依然不是正确的，我们举个栗子



最后的这个流量图，虽然满足上下界要求，但是。。刚才的第一条要求并不满足

由于需要满足流量平衡条件

∑f(u,i)=∑f(i,v)

∑[b(u,i)+g(u,i)]=∑[b(i,v)+g(i,v)]

∑b(u,i)−∑b(i,v)=∑g(i,v)−∑g(u,i)

令d(i)=∑b(u,i)−∑b(i,v)

当d(i)>0时 ∑g(i,v)=∑g(u,i)+d(i)

所以需要一条边流量为d(i)来补流



当d(i)<0时同理

可以发现，添加的所有与附加源点或者附加汇点相连的边必须满流，原图才有可行流