LCT(Link-Cut Tree)学习笔记
2017-12-27 14:10
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LCT(Link-Cut Tree)是一种支持动态维护的树形数据结构,可以用来解决非循环图的动态连通性问题。这里大概就我的理解去说一下LCT的原理以及实现。
与树剖类似,LCT分为轻/重链,可以保证,重链的条数不超过log(n)条。
但是,由于链的维护是动态的,这使得我们不能像树剖一样用线段树去维护每一条链。
我们使用splay去维护每一条链,LCT就可以视为是一个splay的森林(如下图所示)。
一个红色的三角形代表一颗splay,splay间连接的方式为建立一条单向边(即一棵splay的根的父亲指向目标节点,而目标节点却不记录有这一个儿子)。
splay以深度为关键字进行维护。
我们定义s[x][0/1]为x的左右儿子,f[x]为x的父亲,lz[x]为x的翻转标记,t[x]为x节点当前所维护的值。
下面介绍splay的基本操作。
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根据上文的定义我们不难理解isroot函数,即判断一个节点是否为一棵splay树的根。inline bool isroot(int x) {return s[f[x]][0]!=x&&s[f[x]][1]!=x;}
LCT中重要的access(x)操作,作用是打通一条由真正的LCT树的根节点到x的由重链组成的路径。
如
4000
果x往下仍是重链,则将该重链改为轻链,并用专门用一棵splay来维护。
inline void access(int x) {for (int i=0;x;i=x,x=f[x]) splay(x),s[x][1]=i,pushup(x);}
makeroot操作则是将一个节点提为整个LCT树的根节点,配合上access操作,可以快速地提取任意两点间的路径。
方法是先将access(x),再splay(x),x便成为了整棵LCT的根,但是这样一来,这棵树的以深度为关键字的性质被翻转,我们需要lz[x]^=1,交换x的左右子树。
inline void makeroot(int x) {access(x),splay(x),lz[x]^=1;}
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有了access和makeroot操作,link和cut操作就比较简单。link操作只需makeroot(x),并将x的父亲指向y。
cut操作是先makeroot(x),再access(y),splay(y),此时x一定为y的右儿子,我们将x的父亲,y的右儿子赋为0即可。
要注意pushup和pushdown的问题。
上面说的LCT是维护点权的,那LCT如何维护边权呢?我们只需将一条边拆成一个点加上两条边,把真正的点的权值赋为0即可。
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放上代码,题目为luogu3690 【模板】Link Cut Tree (动态树)。#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<iostream> #define N 300050 using namespace std; int w ,n,m,x,y,opt; struct lct { int s [2],f ,lz ,t ,q ,top; inline bool isroot(int x) {return s[f[x]][0]!=x&&s[f[x]][1]!=x;} inline void pushup(int x) {t[x]=t[s[x][0]]^t[s[x][1]]^w[x];} inline void pushdown(int x) {if (lz[x]) lz[s[x][0]]^=1,lz[s[x][1]]^=1,lz[x]=0,swap(s[x][0],s[x][1]);} inline void rotate(int x,int k) { int y=f[x],z=f[y]; s[y][!k]=s[x][k],f[x]=z; if (s[x][k]) f[s[x][k]]=y; if (!isroot(y)) s[z][y==s[z][1]]=x; s[x][k]=y,f[y]=x,pushup(y),pushup(x); } inline void splay(int x) { top=0,q[++top]=x; for (int i=x;!isroot(i);i=f[i]) q[++top]=f[i]; for (int i=top;i;i--) pushdown(q[i]); while (!isroot(x)) { int y=f[x],z=f[y]; if (isroot(y)) {rotate(x,x==s[y][0]);continue;} if (y==s[z][0]) { if (x==s[y][0]) rotate(y,1),rotate(x,1); else rotate(x,0),rotate(x,1); } else { if (x==s[y][1]) rotate(y,0),rotate(x,0); else rotate(x,1),rotate(x,0); } } } inline void access(int x) {for (int i=0;x;i=x,x=f[x]) splay(x),s[x][1]=i,pushup(x);} inline void makeroot(int x) {access(x),splay(x),lz[x]^=1;} inline int find(int x) {access(x),splay(x);while (s[x][0]) x=s[x][0];return x;} inline void split(int x,int y){makeroot(x),access(y),splay(y);} inline void cut(int x,int y) {split(x,y);if (x==s[y][0]) s[y][0]=0,f[x]=0;} inline void link(int x,int y) {makeroot(x),f[x]=y;} }T; inline void read(int &x) { x=0; int f=1; char ch=getchar(); while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();} while (isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); x=x*f; } int main() { read(n),read(m); for (int i=1;i<=n;i++) read(w[i]),T.t[i]=w[i]; while (m--) { read(opt); if (opt==0) read(x),read(y),T.split(x,y),printf("%d\n",T.t[y]); if (opt==1) {read(x),read(y);if (T.find(x)!=T.find(y)) T.link(x,y);} if (opt==2) {read(x),read(y);if (T.find(x)==T.find(y)) T.cut(x,y);} if (opt==3) read(x),read(y),T.access(x),T.splay(x),w[x]=y,T.pushup(x); } return 0; }
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