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LCT(Link-Cut Tree)学习笔记

2017-12-27 14:10 239 查看

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LCT(Link-Cut Tree)是一种支持动态维护的树形数据结构,可以用来解决非循环图的动态连通性问题。

这里大概就我的理解去说一下LCT的原理以及实现。

与树剖类似,LCT分为轻/重链,可以保证,重链的条数不超过log(n)条。

但是,由于链的维护是动态的,这使得我们不能像树剖一样用线段树去维护每一条链。

我们使用splay去维护每一条链,LCT就可以视为是一个splay的森林(如下图所示)。



一个红色的三角形代表一颗splay,splay间连接的方式为建立一条单向边(即一棵splay的根的父亲指向目标节点,而目标节点却不记录有这一个儿子)。

splay以深度为关键字进行维护。

我们定义s[x][0/1]为x的左右儿子,f[x]为x的父亲,lz[x]为x的翻转标记,t[x]为x节点当前所维护的值。

下面介绍splay的基本操作。

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根据上文的定义我们不难理解isroot函数,即判断一个节点是否为一棵splay树的根。

inline bool isroot(int x) {return s[f[x]][0]!=x&&s[f[x]][1]!=x;}


LCT中重要的access(x)操作,作用是打通一条由真正的LCT树的根节点到x的由重链组成的路径。


4000
果x往下仍是重链,则将该重链改为轻链,并用专门用一棵splay来维护。

inline void access(int x) {for (int i=0;x;i=x,x=f[x]) splay(x),s[x][1]=i,pushup(x);}


makeroot操作则是将一个节点提为整个LCT树的根节点,配合上access操作,可以快速地提取任意两点间的路径。

方法是先将access(x),再splay(x),x便成为了整棵LCT的根,但是这样一来,这棵树的以深度为关键字的性质被翻转,我们需要lz[x]^=1,交换x的左右子树。

inline void makeroot(int x) {access(x),splay(x),lz[x]^=1;}


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有了access和makeroot操作,link和cut操作就比较简单。

link操作只需makeroot(x),并将x的父亲指向y。

cut操作是先makeroot(x),再access(y),splay(y),此时x一定为y的右儿子,我们将x的父亲,y的右儿子赋为0即可。

要注意pushup和pushdown的问题。

上面说的LCT是维护点权的,那LCT如何维护边权呢?我们只需将一条边拆成一个点加上两条边,把真正的点的权值赋为0即可。

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放上代码,题目为luogu3690 【模板】Link Cut Tree (动态树)。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define N 300050
using namespace std;
int w
,n,m,x,y,opt;
struct lct
{
int s
[2],f
,lz
,t
,q
,top;
inline bool isroot(int x) {return s[f[x]][0]!=x&&s[f[x]][1]!=x;}
inline void pushup(int x) {t[x]=t[s[x][0]]^t[s[x][1]]^w[x];}
inline void pushdown(int x) {if (lz[x]) lz[s[x][0]]^=1,lz[s[x][1]]^=1,lz[x]=0,swap(s[x][0],s[x][1]);}
inline void rotate(int x,int k)
{
int y=f[x],z=f[y];
s[y][!k]=s[x][k],f[x]=z;
if (s[x][k]) f[s[x][k]]=y;
if (!isroot(y)) s[z][y==s[z][1]]=x;
s[x][k]=y,f[y]=x,pushup(y),pushup(x);
}
inline void splay(int x)
{
top=0,q[++top]=x;
for (int i=x;!isroot(i);i=f[i]) q[++top]=f[i];
for (int i=top;i;i--) pushdown(q[i]);
while (!isroot(x))
{
int y=f[x],z=f[y];
if (isroot(y)) {rotate(x,x==s[y][0]);continue;}
if (y==s[z][0])
{
if (x==s[y][0]) rotate(y,1),rotate(x,1);
else rotate(x,0),rotate(x,1);
}
else
{
if (x==s[y][1]) rotate(y,0),rotate(x,0);
else rotate(x,1),rotate(x,0);
}
}
}
inline void access(int x) {for (int i=0;x;i=x,x=f[x]) splay(x),s[x][1]=i,pushup(x);}
inline void makeroot(int x) {access(x),splay(x),lz[x]^=1;}
inline int find(int x) {access(x),splay(x);while (s[x][0]) x=s[x][0];return x;}
inline void split(int x,int y){makeroot(x),access(y),splay(y);}
inline void cut(int x,int y) {split(x,y);if (x==s[y][0]) s[y][0]=0,f[x]=0;}
inline void link(int x,int y) {makeroot(x),f[x]=y;}
}T;
inline void read(int &x)
{
x=0;
int f=1;
char ch=getchar();
while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while (isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
x=x*f;
}
int main()
{
read(n),read(m);
for (int i=1;i<=n;i++) read(w[i]),T.t[i]=w[i];
while (m--)
{
read(opt);
if (opt==0) read(x),read(y),T.split(x,y),printf("%d\n",T.t[y]);
if (opt==1) {read(x),read(y);if (T.find(x)!=T.find(y)) T.link(x,y);}
if (opt==2) {read(x),read(y);if (T.find(x)==T.find(y)) T.cut(x,y);}
if (opt==3) read(x),read(y),T.access(x),T.splay(x),w[x]=y,T.pushup(x);
}
return 0;
}
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