CodePlus 2017 12 月赛 白金元首与独舞 矩阵树定理求有向图生成树数量

题意

分析

首先如果存在环的话答案肯定为0。

那么我们把每个格子看做节点，它指向的点看做它的父亲，这样整个图就变成了一棵有k+1个连通块的森林。每个连通块的根节点要么是空节点要么是外部空间。

把每个空点向其四个方向连边，问题就变成了求无向图的内向树生成树数量。

有向图的生成树计数也可以用矩阵树定理。不同之处在于，如果是外向树的话就是入度矩阵-邻接矩阵，内向树的话就是出度矩阵-邻接矩阵。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N=305;
const int MOD=1000000007;

int n,m,f[N*N],a

,tot,dx[4]={0,1,0,-1},dy[4]={1,0,-1,0},num[N*N];
char str
;
pair<int,int> v
;

int point(int x,int y)
{
if (x<1||x>n||y<1||y>m) return n*m+1;
return (x-1)*m+y;
}

int find(int x)
{
if (f[x]==x) return x;
else return f[x]=find(f[x]);
}

int gauss(int n)
{
int ans=1,f=1;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
for (int j=i+1;j<=n;j++)
if (a[j][i])
while (a[j][i])
{
if (a[j][i]<a[i][i])
{
for (int k=1;k<=n;k++) swap(a[j][k],a[i][k]);
f*=-1;
}
int x=a[j][i]/a[i][i];
for (int k=i;k<=n;k++) a[j][k]+=MOD-(LL)a[i][k]*x%MOD,a[j][k]-=a[j][k]>=MOD?MOD:0;
}
ans=(LL)ans*a[i][i]%MOD;
}
return (ans*f+MOD)%MOD;
}

int main()
{
int T;scanf("%d",&T);
while (T--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);tot=0;
for (int i=1;i<=n*m+1;i++) f[i]=i;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%s",str+1);
for (int j=1;j<=m;j++)
{
if (str[j]=='.') {v[++tot]=make_pair(i,j);continue;}
int x=find(point(i,j)),y;
if (str[j]=='U') y=find(point(i-1,j));
else if (str[j]=='D') y=find(point(i+1,j));
else if (str[j]=='L') y=find(point(i,j-1));
else y=find(point(i,j+1));
if (x!=y) f[x]=y;
}
}
int s=0;
for (int i=1;i<=n*m+1;i++) s+=f[i]==i;
if (s>tot+1) {puts("0");continue;}
for (int i=1;i<=tot;i++)
for (int j=1;j<=tot;j++)
a[i][j]=0;
for (int i=1;i<=tot;i++) num[point(v[i].first,v[i].second)]=i;
num[n*m+1]=tot+1;
for (int i=1;i<=tot;i++)
{
int x=point(v[i].first,v[i].second);
for (int j=0;j<4;j++)
{
int p=v[i].first+dx[j],q=v[i].second+dy[j],y=find(point(p,q));
if (x!=y) (a[i][num[y]]+=MOD-1)%=MOD,a[i][i]++;
}
}
printf("%d\n",gauss(tot));
}
return 0;
}