Educational Codeforces Round 33 E. Counting Arrays
2017-12-25 20:51
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原题:
E. Counting Arrays
time limit per test3 seconds
memory limit per test256 megabytes
inputstandard input
outputstandard output
You are given two positive integer numbers x and y. An array F is called an y-factorization of x iff the following conditions are met:
There are y elements in F, and all of them are integer numbers;
.
You have to count the number of pairwise distinct arrays that are y-factorizations of x. Two arrays A and B are considered different iff there exists at least one index i (1 ≤ i ≤ y) such that Ai ≠ Bi. Since the answer can be very large, print it modulo 109 + 7.
Input
The first line contains one integer q (1 ≤ q ≤ 105) — the number of testcases to solve.
Then q lines follow, each containing two integers xi and yi (1 ≤ xi, yi ≤ 106). Each of these lines represents a testcase.
Output
Print q integers. i-th integer has to be equal to the number of yi-factorizations of xi modulo 109 + 7.
Example
input
2
6 3
4 2
output
36
6
Note
In the second testcase of the example there are six y-factorizations:
{ - 4, - 1};
{ - 2, - 2};
{ - 1, - 4};
{1, 4};
{2, 2};
{4, 1}.
中文:
给你一个数n,表示有n个数据
然后输入x和y,问你y个数相乘等于x的方案数有多少种?
解答:
首先用唯一分解定理,把x分解
x=p1a1×p2a2×p3a3....
例如
100=22×52
现在是要x分成y个数相乘的形式,相当于把每个素数因子放入y个不同盒子里,有多少种放置的方法。
相当于把n个一样的球,放到m个不同的盒子中,且盒子不为空。公式为∏(ai+y−1ai)
因为有负数因子的存在,所以需要把结果乘以(y0)+(y2)+(y4)+....
接下来问题来了,由于数据x和y为10^6,而且还是一次输入多个数据进行计算。
如何快速求出组合数是个问题。
使用lucas公式,可是取模的数值是10^9+7,太大~
试了一下,果然超时,卡在第16组数据上了
后来看别人的代码,在计算组合数的时候都用了数组去记录一个值,研究后发现了一个叫乘法逆元的东西,曾经遇到过但是没注意。
基本意思就是计算组合数公式的方法m!n!×(m−n)!
如果,在计算组合数的时候直接取模,即:
m!%modn!%mod×(m−n)!%mod
上面公式是错误的!!!!!
加法、减法、乘法在进行余数计算的时候支持对余数四则运算,但是除法不能这样处理
解决办法是使用乘法逆元,类似于除以一个数等于乘以这个数的倒数的原理,只不过这里有了取模的条件
所谓乘法逆元,就是计算此公式ax≡1(modp)中的x是多少
推导过程使用了费马小定理
费马小定理为xp≡x(modp)
如果p不是x的因子
那么可以约掉一个x
xp−1≡1(modp)
可以写成
xp−2∗x≡1(modp)
那么,要求的a就等于xp−2,使用快速幂即可
由于是计算阶乘逆元,可以使用递推的方法来计算,否则挨个使用快速幂计算通常超时!
E. Counting Arrays
time limit per test3 seconds
memory limit per test256 megabytes
inputstandard input
outputstandard output
You are given two positive integer numbers x and y. An array F is called an y-factorization of x iff the following conditions are met:
There are y elements in F, and all of them are integer numbers;
.
You have to count the number of pairwise distinct arrays that are y-factorizations of x. Two arrays A and B are considered different iff there exists at least one index i (1 ≤ i ≤ y) such that Ai ≠ Bi. Since the answer can be very large, print it modulo 109 + 7.
Input
The first line contains one integer q (1 ≤ q ≤ 105) — the number of testcases to solve.
Then q lines follow, each containing two integers xi and yi (1 ≤ xi, yi ≤ 106). Each of these lines represents a testcase.
Output
Print q integers. i-th integer has to be equal to the number of yi-factorizations of xi modulo 109 + 7.
Example
input
2
6 3
4 2
output
36
6
Note
In the second testcase of the example there are six y-factorizations:
{ - 4, - 1};
{ - 2, - 2};
{ - 1, - 4};
{1, 4};
{2, 2};
{4, 1}.
中文:
给你一个数n,表示有n个数据
然后输入x和y,问你y个数相乘等于x的方案数有多少种?
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; const int maxn=1e6+50; const LL mod=1000000007; int p[2000]; bool tag[20000]; int ind; void get_prime() { int cnt=0; for(int i=2;i<2000;i++) { if(!tag[i]) p[cnt++]=i; for(int j=0;j<cnt&&p[j]*i<2000;j++) { tag[i*p[j]]=1; if(i%p[j]==0) break; } } ind=cnt; } LL quick_mod(LL a, LL b) { LL ans = 1; a %= mod; while(b) { if(b & 1) { ans = ans * a % mod; b--; } b >>= 1; a = a * a % mod; } return ans; } LL factor[maxn],inverse[maxn],pow2[maxn]; void ini() { get_prime(); factor[0]=1; pow2[0]=1; for(int i=1;i<maxn;i++) { factor[i]=factor[i-1]*i%mod; pow2[i]=pow2[i-1]*2%mod; } inverse[maxn-1]=quick_mod(factor[maxn-1],mod-2)%mod; for(int i=maxn-2;i>=0;i--) inverse[i]=inverse[i+1]*(i+1)%mod; } LL C(LL n,LL m) { if(n<m) return 0; if(n<2*m) m=n-m; return factor *inverse[n-m]%mod*inverse[m]%mod; } LL x,y; int main() { ios::sync_with_stdio(false); ini(); int n; cin>>n; while(n--) { LL ans=1; cin>>x>>y; int i=0,cnt=0; while(i<ind) { if(p[i]>x) break; while(x%p[i]==0) { cnt++; x/=p[i]; } if(cnt>0) ans=ans*C(y-1+cnt,cnt)%mod; i++; cnt=0; } if(x!=1) ans=ans*y%mod; ans=(ans*pow2[y-1])%mod; cout<<ans<<endl; } return 0; }
解答:
首先用唯一分解定理,把x分解
x=p1a1×p2a2×p3a3....
例如
100=22×52
现在是要x分成y个数相乘的形式,相当于把每个素数因子放入y个不同盒子里,有多少种放置的方法。
相当于把n个一样的球,放到m个不同的盒子中,且盒子不为空。公式为∏(ai+y−1ai)
因为有负数因子的存在,所以需要把结果乘以(y0)+(y2)+(y4)+....
接下来问题来了,由于数据x和y为10^6,而且还是一次输入多个数据进行计算。
如何快速求出组合数是个问题。
使用lucas公式,可是取模的数值是10^9+7,太大~
试了一下,果然超时,卡在第16组数据上了
后来看别人的代码,在计算组合数的时候都用了数组去记录一个值,研究后发现了一个叫乘法逆元的东西,曾经遇到过但是没注意。
基本意思就是计算组合数公式的方法m!n!×(m−n)!
如果,在计算组合数的时候直接取模,即:
m!%modn!%mod×(m−n)!%mod
上面公式是错误的!!!!!
加法、减法、乘法在进行余数计算的时候支持对余数四则运算,但是除法不能这样处理
解决办法是使用乘法逆元,类似于除以一个数等于乘以这个数的倒数的原理,只不过这里有了取模的条件
所谓乘法逆元,就是计算此公式ax≡1(modp)中的x是多少
推导过程使用了费马小定理
费马小定理为xp≡x(modp)
如果p不是x的因子
那么可以约掉一个x
xp−1≡1(modp)
可以写成
xp−2∗x≡1(modp)
那么,要求的a就等于xp−2,使用快速幂即可
由于是计算阶乘逆元,可以使用递推的方法来计算,否则挨个使用快速幂计算通常超时!
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