【虚树+树形DP】BZOJ2286(Sdoi2011)[消耗战]题解

题目概述

给出一棵 n 个节点的树（有边权），有 m 个询问，每次询问给出 k 个节点，需要干掉若干条边使得 k 个节点都不与 1 连通，求最小代价。

解题报告

如果只有一组询问，显然是 O(n) 树形DP，但是有多组询问……不过我们注意到 ∑k 不大，所以如果我们能建出一棵新树，这棵新树只和关键点有关，就可以加快速度。这种树就是虚树，接下来我们讲一下构造方法：

为了维持树形不变，所以我们需要把 k 个点两两点之间的LCA也建进虚树中，但是这不是 O(k2) 的吗？yy一下会发现如果我们先把 k 个点按照DFS序排序，然后只要求相邻两点的LCA的就行了，非相邻两点的LCA一定包含在相邻点的LCA中。

得到关键的 2k−1 个点之后，我们再按照DFS序排序，然后用栈维护一条链，如果目前加入的点 x 不是栈顶的孙子，就删除栈顶。最后再连接栈顶和 x ，并把 x 入栈就行了。

十年OI一场空，没开long long见祖宗。

示例程序

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=250000,maxm=1000000,maxe=maxn*2+maxm,Log=18;

int n,te,K,m,a[maxm+5],dep[maxn+5];LL MIN[maxn+5];
int E,lnk[2][maxn+5],son[maxe+5],nxt[maxe+5],w[maxe+5];
int fa[maxn+5][Log+5],ti,Lt[maxn+5],Rt[maxn+5];
int top,stk[maxm+5];bool vis[maxn+5];

#define Eoln(x) ((x)==10||(x)==13||(x)==EOF)
inline char readc()
{
static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;
if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);
if (l==r) return EOF;return *l++;
}
inline int readi(int &x)
{
int tot=0,f=1;char ch=readc(),lst='+';
while (!isdigit(ch)) {if (ch==EOF) return EOF;lst=ch;ch=readc();}
if (lst=='-') f=-f;
while (isdigit(ch)) tot=(tot<<3)+(tot<<1)+ch-48,ch=readc();
return x=tot*f,Eoln(ch);
}
inline void Add(int x,int y,int z) {son[++E]=y;w[E]=z;nxt[E]=lnk[0][x];lnk[0][x]=E;}
inline void Add(int x,int y) {son[++E]=y;nxt[E]=lnk[1][x];lnk[1][x]=E;}
void Dfs(int x,int pre=0)
{
Lt[x]=++ti;dep[x]=dep[pre]+1;fa[x][0]=pre;
for (int i=1;i<=Log;i++) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
for (int j=lnk[0][x];j;j=nxt[j]) if (son[j]!=pre)
MIN[son[j]]=min(MIN[x],(LL)w[j]),Dfs(son[j],x);
Rt[x]=ti;
}
inline int LCA(int x,int y)
{
if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
for (int j=Log;j>=0&&dep[x]>dep[y];j--) if (dep[fa[x][j]]>=dep[y]) x=fa[x][j];
if (x==y) return x;
for (int j=Log;j>=0;j--) if (fa[x][j]!=fa[y][j]) x=fa[x][j],y=fa[y][j];
return fa[x][0];
}
inline bool cmp(int x,int y) {return Lt[x]<Lt[y];}
#define Son(fa,x) (Lt[fa]<=Lt[x]&&Rt[x]<=Rt[fa])
LL DP(int x)
{
if (vis[x]) return MIN[x];LL ans=0;
for (int j=lnk[1][x];j;j=nxt[j]) ans+=DP(son[j]);
return min(ans,MIN[x]);
}
int main()
{
freopen("program.in","r",stdin);
freopen("program.out","w",stdout);
for (int i=(readi(n),1),x,y,z;i<n;i++)
readi(x),readi(y),readi(z),Add(x,y,z),Add(y,x,z);
for (MIN[1]=9e18,Dfs(1),readi(te);te;te--)
{
readi(K);for (int i=1;i<=K;i++) readi(a[i]),vis[a[i]]=true;
a[m=++K]=1;sort(a+1,a+1+m,cmp);top=0;
for (int i=2;i<=K;i++) a[++m]=LCA(a[i-1],a[i]);
sort(a+1,a+1+m,cmp);m=unique(a+1,a+1+m)-a-1;
for (int i=1;i<=m;i++)
{
while (top&&!Son(stk[top],a[i])) top--;
if (top) Add(stk[top],a[i]);stk[++top]=a[i];
}
printf("%lld\n",DP(1));
for (int i=1;i<=m;i++) lnk[1][a[i]]=0,vis[a[i]]=false;
}
return 0;
}