【BZOJ 3884】 上帝与集合的正确用法 （扩展欧拉定理降幂）

Description

给定pp，求2222222⋯modp2222222⋯modp

Solution

直接用扩展欧拉定理：

当x>φ(p)x>φ(p)时，有：ax≡axmodφ(p)+φ(p)(modp)ax≡axmodφ(p)+φ(p)(modp)

由于有无限个22，所以肯定大于φ(p)φ(p)，直接用上面的公式降幂即可。

开始只知道p=1p=1时，答案是00，不断递归，用

std::map

保存答案。

另外，这样最多只会算log2plog2p次，因为φ(φ(⋯φ(p)))φ(φ(⋯φ(p)))的运算中，如果本来是奇数，就会变成比它小的偶数，偶数至少会变成原来的一半。（另外BZOJ4869也用到了这个性质）

Code

/**************************
Au: Hany01
Date: Dec 24th, 2017
Prob: bzoj3884
Email: hany01@foxmail.com
**************************/

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;
#define rep(i, j) for (register int i = 0, i##_end_ = (j); i < i##_end_; ++ i)
#define For(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i <= i##_end_; ++ i)
#define Fordown(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i >= i##_end_; -- i)
#define Set(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define fir first
#define sec second
#define pb(a) push_back(a)
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define ALL(a) (a).begin(), (a).end()
#define SZ(a) ((int)(a).size())
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define INF1 (2139062143)

template <typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
template <typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }

inline int read()
{
int _, __; char c_;
for (_ = 0, __ = 1, c_ = getchar(); c_ < '0' || c_ > '9'; c_ = getchar()) if (c_ == '-') __ = -1;
for ( ; c_ >= '0' && c_ <= '9'; c_ = getchar()) _ = (_ << 1) + (_ << 3) + (c_ ^ 48);
return _ * __;
}

inline void File()
{
#ifdef hany01
freopen("bzoj3884.in", "r", stdin);
freopen("bzoj3884.out", "w", stdout);
#endif
}

inline int Pow(ll a, int b, int Ha) {
ll ret = 1;
for ( ; b; b >>= 1, a = a * a % Ha) if (b & 1) (ret *= a) %= Ha;
return (int)ret;
}

inline int phi(int x)
{
register int t = x;
for (register int i = 2; i * i <= x; ++ i)
if (!(x % i)) { t -= t / i; while (!(x % i)) x /= i; }
if (x > 1) t -= t / x;
return t;
}

int f(int x)
{
if (x == 1) return 0;
int phi_x = phi(x);
return Pow(2, f(phi_x) + phi_x, x);
}

int main()
{
File();
register int T;
T = read();
while (T --) printf("%d\n", f(read()));
return 0;
}
//枝上柳绵吹又少。天涯何处无芳草。
//    -- 苏轼《蝶恋花·春景》