BZOJ3132 上帝造题的七分钟 【二维树状数组】
2017-12-24 09:32
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题目
“第一分钟,X说,要有矩阵,于是便有了一个里面写满了0的n×m矩阵。第二分钟,L说,要能修改,于是便有了将左上角为(a,b),右下角为(c,d)的一个矩形区域内的全部数字加上一个值的操作。
第三分钟,k说,要能查询,于是便有了求给定矩形区域内的全部数字和的操作。
第四分钟,彩虹喵说,要基于二叉树的数据结构,于是便有了数据范围。
第五分钟,和雪说,要有耐心,于是便有了时间限制。
第六分钟,吃钢琴男说,要省点事,于是便有了保证运算过程中及最终结果均不超过32位有符号整数类型的表示范围的限制。
第七分钟,这道题终于造完了,然而,造题的神牛们再也不想写这道题的程序了。”
——《上帝造裸题的七分钟》
所以这个神圣的任务就交给你了。
输入格式
输入数据的第一行为X n m,代表矩阵大小为n×m。从输入数据的第二行开始到文件尾的每一行会出现以下两种操作:
L a b c d delta —— 代表将(a,b),(c,d)为顶点的矩形区域内的所有数字加上delta。
k a b c d —— 代表求(a,b),(c,d)为顶点的矩形区域内所有数字的和。
请注意,k为小写。
输出格式
针对每个k操作,在单独的一行输出答案。输入样例
X 4 4L 1 1 3 3 2
L 2 2 4 4 1
k 2 2 3 3
输出样例
12范围
对于100%的数据,1 ≤ n ≤ 2048, 1 ≤ m ≤ 2048, 1 ≤ abs(delta) ≤ 500,操作不超过200000个,保证运算过程中及最终结果均不超过32位带符号整数类型的表示范围。题解
一开始想写个二维线段树,写到一半发现第一维修改时的合并操作很难实现。。于是改用树状数组二维树状数组
首先我们要先了解二维树状数组的作用二维树状数组,故名思议,就是二维的树状数组,可以维护二维的前缀和,具体实现类似一维:
struct BIT{ int A[maxn][maxn]; void add(int x,int y,int v){ for (int i = x; i <= n; i += lbt(i)) for (int j = y; j <= m; j += lbt(j)) A[i][j] += v; } int sum(int x,int y){ int ans = 0; for (int i = x; i > 0; i -= lbt(i)) for (int j = y; j > 0; j -= lbt(j)) ans += A[i][j]; return ans; } };
它维护的是前缀和,单点修改。
假如我们有了这样一个数据结构,想求(x1,y1)~(x2,y2)的和
那么sum = sum(x2,y2) - sum(x2,y1 - 1) - sum(x1 - 1,y2) + sum(x1 - 1,y1 - 1)
就像容斥一样,很直观的说
我们现在就有了一个单点修改,二维区间求和的工具
单次修改或查询复杂度O(log2n)
区间修改的树状数组
树状数组如何实现区间修改?我们从最简单的一维树状数组入手:
众所周知,一维树状数组是单点修改维护前缀和而实现区间求和
假若我们想使用单点修改 + 前缀和 实现区间修改,你想到了什么?
差分数组!
差分数组每次在区间的两端点进行修改,求一次前缀和即可还原这个数组
假若我们用树状数组维护一个差分数组,那岂不是可以做到区间修改?
没错,是的,可以做到区间修改
但是你有没有想过你把区间和丢哪了?
我们维护一个差分数组,对i位置取前缀和,得到的是i位置的值,并不能得到前缀和
假若在差分数组中,我们要求前缀和:
sum(i,j)=D[1∼i]+D[1∼i+1]+D[1∼i+2]+...+D[1∼j]
=(j−i+1)∗∑ik=1D[k]+(j−i)∗D[i+1]+(j−i−1)∗D[i+2]+....+D[j]
=(j+1)∗∑jk=iD[k]−(j∗D[j]+(j−1)∗D[j−1]+(j−2)∗D[j−2]+...+i∗D[i])
=(j+1)∗SUM(D[x],i,j)−SUM(D[x]∗x,i,j)
所以,我们只用维护D[i]的前缀和和D[i]*i的前缀和就可以算出区间和了
二维树状数组
扩展到二维也是类似的,我们令A[i][j]表示(i,j)到(n,m)的增量可以自己yy一下,写博客真累
放代码【很短的】:
#include<cstdio> #define lbt(u) (u & -u) const int maxn = 2050,maxm = 100005,INF = 1000000000; inline int RD(){ int out = 0,flag = 1; char c = getchar(); while (c < 48 || c > 57) {if (c == '-') flag = -1; c = getchar();} while (c >= 48 && c <= 57) {out = (out << 1) + (out << 3) + c - '0'; c = getchar();} return out * flag; } int n,m; struct BIT{ int A[maxn][maxn]; void add(int x,int y,int v){ for (int i = x; i <= n; i += lbt(i)) for (int j = y; j <= m; j += lbt(j)) A[i][j] += v; } int sum(int x,int y){ int ans = 0; for (int i = x; i > 0; i -= lbt(i)) for (int j = y; j > 0; j -= lbt(j)) ans += A[i][j]; return ans; } }A,B,C,D; void Add(int x,int y,int v){ A.add(x,y,v); B.add(x,y,y * v); C.add(x,y,x * v); D.add(x,y,x * y * v); } void update(int x1,int y1,int x2,int y2,int v){ Add(x1,y1,v); Add(x2 + 1,y1,-v); Add(x1,y2 + 1,-v); Add(x2 + 1,y2 + 1,v); } int Sum(int x,int y){ return (x + 1) * (y + 1) * A.sum(x,y) - (x + 1) * B.sum(x,y) - (y + 1) * C.sum(x,y) + D.sum(x,y); } int Query(int x1,int y1,int x2,int y2){ return Sum(x2,y2) - Sum(x1 - 1,y2) - Sum(x2,y1 - 1) + Sum(x1 - 1,y1 - 1); } int main(){ n = RD(); m = RD(); int x1,y1,x2,y2,d; while (true){ char c = getchar(); while (c != EOF && c != 'L' && c != 'k') c = getchar(); if (c == EOF) break; else if (c == 'L'){ x1 = RD(); y1 = RD(); x2 = RD(); y2 = RD(); d = RD(); update(x1,y1,x2,y2,d); }else { x1 = RD(); y1 = RD(); x2 = RD(); y2 = RD(); printf("%d\n",Query(x1,y1,x2,y2)); } } return 0; }
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