一条长为L的绳子,一面靠墙,另外三边组成矩形,问此矩形最大面积能是多少?
2017-12-22 23:50
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靠墙的两边设为x,墙的对边设为y,有2x+y=L;
则y=L-2x,
矩形面积函数为xy=x(L-2x)=-2x2+xL,即f(x)=-2x2+xL
这时就是求二次函数的极值问题了。
按二次函数y=ax2+bx+c的最值定义,当a<0时,当x=-b/2a时,有最大值ymax=(4ac-b2)/4a.(注意这一行的xy是二次函数定义里的xy,不是文中2x+y=L中的xy)
所以,当x=-b/2a=L/4,y=L/2时,三边围成的最大矩形面积为L2/8.
另外,也可以由微分得出上述结论,因f(x)=-2x2+xL,那么有导数f'(x)=-4x+L
导数是函数的切线,当切线平行于x轴时函数有极值,所以当f'(x)=0时,即x=L/4时,f(x)=-2x2+xL达到它的最大值L2/8.
2017年12月22日
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