jzoj 1935. 【2011集训队出题】单选错位

Description

　　gx和lc去参加noip初赛，其中有一种题型叫单项选择题，顾名思义，只有一个选项是正确答案。试卷上共有n道单选题，第i道单选题有ai个选项，这ai个选项编号是1,2,3,…,ai，每个选项成为正确答案的概率都是相等的。lc采取的策略是每道题目随机写上1-ai的某个数作为答案选项，他用不了多少时间就能期望做对道题目。gx则是认认真真地做完了这n道题目，可是等他做完的时候时间也所剩无几了，于是他匆忙地把答案抄到答题纸上，没想到抄错位了：第i道题目的答案抄到了答题纸上的第i+1道题目的位置上，特别地，第n道题目的答案抄到了第1道题目的位置上。现在gx已经走出考场没法改了，不过他还是想知道自己期望能做对几道题目，这样他就知道会不会被lc鄙视了。

　　我们假设gx没有做错任何题目，只是答案抄错位置了。

Input

　　n很大，为了避免读入耗时太多，输入文件只有5个整数参数n, A, B, C, a1，由上交的程序产生数列a。下面给出pascal/C/C++的读入语句和产生序列的语句（默认从标准输入读入）：

// for pascal

　　readln(n,A,B,C,q[1]);

　　for i:=2 to n do

　　　　q[i] := (int64(q[i-1]) * A + B) mod 100000001;

　　for i:=1 to n do

　　　　q[i] := q[i] mod C + 1;

// for C/C++

　　scanf(“%d%d%d%d%d”,&n,&A,&B,&C,a+1);

　　for (int i=2;i<=n;i++)

　　　　a[i] = ((long long)a[i-1] * A + B) % 100000001;

　　for (int i=1;i<=n;i++)

　　　　a[i] = a[i] % C + 1;

　　选手可以通过以上的程序语句得到n和数列a（a的元素类型是32位整数），n和a的含义见题目描述。

Output

　　输出一个实数，表示gx期望做对的题目个数，保留三位小数。

Sample Input

3 2 0 4 1

Sample Output

1.167

Data Constraint

Hint

【样例说明】

　　a[] = {2,3,1}

　　正确答案 gx的答案 做对题目 出现概率

　　{1,1,1} {1,1,1} 3 1/6

　　{1,2,1} {1,1,2} 1 1/6

　　{1,3,1} {1,1,3} 1 1/6

　　{2,1,1} {1,2,1} 1 1/6

　　{2,2,1} {1,2,2} 1 1/6

　　{2,3,1} {1,2,3} 0 1/6

　　共有6种情况，每种情况出现的概率是1/6，gx期望做对(3+1+1+1+1+0)/6 = 7/6题。（相比之下，lc随机就能期望做对11/6题）

【数据范围】

　　对于30%的数据 n≤10, C≤10

　　对于80%的数据 n≤10000, C≤10

　　对于90%的数据 n≤500000, C≤100000000

　　对于100%的数据 2≤n≤10000000, 0≤A,B,C,a1≤100000000

分析：对于每一题，只有第i-1题答案和第i题答案一样才正确。加入第i-1题有x个答案，第i题有y个答案，这两题的方案有x*y种，正确的有min(x,y)种，即期望为min(x,y)/(x*y)=1/max(x,y) 对于第一题和最后一题同理。

代码：

var
b,c,a:int64;
q:Array [1..10000000] of int64;
i,n:longint;
ans:extended;
function max(x,y:int64):int64;
begin
if x>y then exit(x)
else exit(y);
end;

begin
readln(n,A,B,C,q[1]);
for i:=2 to n do
q[i]:=(int64(q[i-1])*A+B) mod 100000001;
for i:=1 to n do
q[i]:=q[i] mod C + 1;
for i:=2 to n do
ans:=ans+1/max(q[i],q[i-1]);
ans:=ans+1/max(q
,q[1]);
writeln(ans:0:3);
end.