剑指Offer-10：斐波那契数列

题目：

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项。

问题解析：

斐波那契数列的定义:除了第一和第二个数外，其他的元素为其前两个数的和。

f(n)=⎧⎩⎨⎪⎪0n=01n=1f(n−1)+f(n−2)n>0

链接：

剑指Offer（第2版）：P74

思路标签：

算法：递归、循环

解答：

1. C++

基于递归的斐波那契数列在每次计算的时候都存在重复的计算，其时间复杂度会随着n的增加以指数的方式递增。并且，使用递归可能会引起调用栈溢出的问题。

当追求代码的简洁性，且递归的次数没有足够大时，使用递归；

当追求代码的时间效率，那么使用循环会更好。

常用的使用递归来计算斐波那契数列的解法在时间效率上并不高，所以这里使用循环来实现。

同时还有基于矩阵乘法的实现，时间复杂度O(logn)，具体解释见书P76。

循环实现

long long fibnacci(unsigned n){
int result[2] = {0, 1};
if(n < 2) return result
;

long long fibOne = 0;
long long fibTwo = 1;
long long fibCurrent = 0;
for(unsigned int i=2; i<=n; ++i){
fibCurrent = fibTwo + fibOne;
fibOne = fibTwo;
fibTwo = fibCurrent;
}

return fibCurrent;
}
}

递归实现

long long Fibonacci_Solution2(unsigned int n)
{
if(n <= 0)
return 0;

if(n == 1)
return 1;

return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);
}

基于矩阵乘法的实现

#include <cassert>

struct Matrix2By2
{
long long m_00;
long long m_01;
long long m_10;
long long m_11;

Matrix2By2(long long m00 = 0, long long m01 = 0, long long m10 = 0, long long m11 = 0)
:m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) {  }
};

Matrix2By2 MatrixMultiply(const Matrix2By2& matrix1, const Matrix2By2& matrix2){
return Matrix2By2(
matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);
}

Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)
{
assert(n > 0);

Matrix2By2 matrix;
if(n == 1)
{
matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
}
else if(n % 2 == 0)
{
matrix = MatrixPower(n / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
}
else if(n % 2 == 1)
{
matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
}

return matrix;
}

long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n)
{
int result[2] = {0, 1};
if(n < 2)
return result
;

Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
return PowerNMinus2.m_00;
}

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题目1： 青蛙跳台阶问题。

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个n级台阶总共有多少种跳法。

分析：

我们将n级台阶的跳法看作是n的函数，记为f(n)。

当n=1时，只有1种跳法；

当n=2时，有跳1次2阶和跳2次1阶的2种跳法；

当n>2时，第一次跳有两种选择：一种是第一次跳1阶，此时跳法为后面剩下的n-1阶，即为f(n-1);一种是第一次跳2阶，此时跳法为后面剩下的n-2阶，即为f(n-2)。

因此，由上面的分析可以看出n阶的不同跳法的总数为f(n)=f(n-1)+f(n-2)。实际上就是斐波那契数列。

扩展：青蛙跳台改为青蛙可以一次跳1级台阶，也可以2阶，…，也可以n阶。总共的跳法，最后用数学归纳法，可以证明：f(n)=2^(n-1)。

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分析：

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竖着放置的时候，右边还剩下2x7的区域，记为f(7)；

横着放置的时候，左上角放置一个，则对应的左下角必须还有一个小矩阵，则右边还剩下2x6的区域，记为f(6)；

因此，f(8)=f(7)+f(6)，可以看出，这仍然是斐波那契数列。