后缀自动机_SAM学习大记

刷新了我对难懂算法的定义，下面都是自己的一些粗浅理解

参考资料：后缀自动机详解 http://blog.csdn.net/qq_35649707/article/details/66473069

陈立杰冬令营讲稿 https://wenku.baidu.com/view/90f22eec551810a6f4248606.html

定义

1) 可以接收串S的所有后缀的最简状态自动机

2) 是一张dag，其中点被称为状态，边被称为转移，每个转移都有一个标号（字母集中的一个元素） ，某一状态t_0被称作初始状态，由它能够到达其余所有状态。

3) 从一个状态出发不能有两个相同标号的转移

4) 一个或多个状态被标记为终止状态。如果我们从初始状态t_0经由任意路径走到某一终止状态，并顺序写出所有经过边的标号，你得到的字符串必然是s的某一后缀。 也就是说s的所有子串都能被这样类似地表达出来，而且内容相同的子串的表达路径是同一条.

基本认知 (若干定理) 必看

较多感性理解，如不适则请移步相关论文，课件.

定义： endpos(v)表示字符串v在s中出现终点(右端点)集合. endpos(t0)=全集

1） 具有相同endpos集合的子串被称为在同一个等价类中（动机： 可以转移到的后缀相同）

2）一个状态，即一个点，表示的是某个endpos集合（某等价类）。一个子串属于该等价类，当且仅当这个子串是t0到该点的一条路径.

重要： 3）两个合法endpos集合要么是包含关系，要么不相干. 易反证.

4）某一终点等价类中的字符串互为后缀，它们的长度依次取区间[x,y]内的所有数。

证明： 若长度为x与y的都属于该等价类，那么长度处于他们之间的也显然属于它.

5）若状态x有转移(x,t)，则可以判断：该endpos集合中的某些位置后面有一个c，从而可以加一个字符，转移到一个新的endpos. 并不是所有位置后面都有c。

反过来，若endpos中某些位置后面有c，则这个状态一定有一个标号为c的转移.

(建议与定义4最后一句话一起理解)

看懂上面的之后，换句话说：一个等价类有(x,t)转移，不意味着在其中的所有字符串都可以加c，而是一部分可以加c.

后缀自动机可以被看作：

s的所有子串可以按照它们的终点集合被分成等价类。

后缀自动机由一个初2始状态t_0和所有不同的终点等价类所对应的状态以及他们之间的转移组成。

定义：link(x)表示对于某个endpos集合x（状态x），包含他并且endpos集合大小最小的状态. (就是比他稍微大一点点的那个endpos集合)

link链：顺着link一直走直到t0，所到达的点集.

link链组成了一棵以t_0为根的树。

证明.考虑任意状态v≠t_0.后缀链接link(v)指向的状态所对应的字符串长度严格小于它本身（根据定义）

因此，沿着后缀链接移动，我们将早晚到达t_0，它对应一个空串。

6）若等价类x中的字符串长度区间为[x,y] （见4），link(x)中的字符串长度集合应为[z,x-1]

解释：就相当于随着字符串长度不断减小（要求不断放宽），endpos一点点变大.

7）顺着link(x)走实际上就是在扩展endpos集合. （串的要求逐渐放宽）

8）x的link链 就是 所有包含了x的endpos集.（endpos一点点变大，直到全集，又综合3可感性得出此结论）

推论： 若等价类x包含了等价类y，那么y 一定 在x的link链上 。

定义：对于一个等价类x，len(x)是在他之中的最长字符串长度.

线性构造算法(顺序看下去)

对每一状态，需要维护两个基本值：link与len.

对于串s我们有构造好的自动机，并且全串s所对应的状态是last.

(显然last的endpos集合只有一个元素：s的长度，因此)

1) 考虑新插入一个字符c. 必须要新建一个状态cur，endpos={s+c末尾位置}，

因此len(cur)=len(last)+1=s+c长度

2) 因为s的后缀所在的endpos全在last的link链上(因为他们全部包括s的末尾位置)，需要为他们添加转移c以接收新串的所有后缀

因此从last开始顺着last的link链往上走，当前点x若没有转移c则为他添加一条(x,cur)标号为c的转移，

走到t0 或 遇到一个点有标号为c的转移则停止.

若走完，仍没有任何一个点有标号为c的转移(t0也没有)，则将link(cur)设为t0

（因为t0也没有c的转移，显然没有包含cur的endpos了），结束过程

3) 设遇到第一个有转移c的点为x，并且这条转移是(x,t)；首先len(t)>len(x)，因为根据转移，len(t)至少等于len(x)+1

因为不能为他直接添加新的转移，我们考虑可不可以为点c的endpos集合添加s+c这个位置，并在link与len中做出对应更新呢？（其实endpos集合都是假想的，实际上并不需要对于每个点保存）



红色框框为在此endpos中在最长的串，由于(x,t)，因此t的endpos集合应该比x往后挪一位，并且更小.

重要：

我们现在给t添加s+1这个位置，会发现po这一段不一定和前面两个endpos中的元素中对应位置匹配。

但有一种情况可以使得po长度为0，也就是len(t)=len(x)+1



当这种情况时，我们假想为t添加s+1，并可以直接将link(cur)赋值为t，并结束过程。

将link(cur)设为t之后相当于为t的link链上的endpos都添加s+1(这关系到endpos集合的求法，见参考文章的应用部分)，并且t是endpos大小最小的，因此link(cur)指向t.

还有一个疑问：为什么能结束过程，而不用继续为后面的点添加转移？见性质5，后面的点都是x代表的串的后缀，所以它们加一个c得到的一定是t所代表的串的后缀，因此在t的link链上

现在来解决一般情况：len(t)>len(x)+1

原因： 在等价类x中，长度不超过len(t)+1的串的endpos集合会多s+1这个元素，而其他不会。 因此该等价类分裂为两个等价类：

新建点nt ，根据原因，len(nt)=len(x)+1；

除此之外，t的所有数据全部复制给nt.然后再调整link，nt的endpos集合是endpos(t)+(s+1)，正好比endpos(t)大一点点，所以link(t)=nt（nt的endpos集合合法，因此由定理3得这样连没有问题）

将x的link链(包括x)上连到t的转移全部改成连到nt上。 （如果遇到c的转移一个不是t的就不用继续改下去，因为它转移的在nt的link链上）

最后link(cur)=nt.

无论何时退出，last都应该更新为cur.

复杂度分析

2018/1/5 UPD::

抛开构造不看，因为点数不超过2len.

所以几乎所有操作复杂度都是O(n)的。

问题就是要证明构造也是O(n)的。

应用部分

1.求endpos集合大小

题目： 4072. 【TJOI2015】弦论(string)

size(endpos) 就是link链组成的树中子树的大小.

也可理解成加点时（拆点时不计），对当前link链上所有点+1