读书笔记: 博弈论导论 - 02 - 引入不确定性和时间

读书笔记: 博弈论导论 - 02 - 引入不确定性和时间

前言

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。

术语

概率分布函数(probability distribution function)

一个简单投机(lottery)(行动\(a \in A\))在结果 $ X = { x_1, x_2, \cdots, x_n }$上的概率分布记做

\[
p = (p(x_1|a), p(x_2|a), \cdots, p(x_n|a)), \\
where \\
p(x_k|a) \geq 0 \text{: the probability that } x_k \text{ occurs when take action a} \\
\sum_{k=1}^n p(x_k|a) = 1
\]。

累积分布函数(cumulative distribution function)

一个简单投机(lottery)行动\(a \in A\)，在结果区间\(X = [\underline{x}, \overline{x}]\)上的累积分布函数：

\[
F : X \to [0, 1] \\
where \\
f(\hat{x} | a) = Pr{x \leq \hat{x}} \text{: the probability that the outcome is less than or equal to } \hat{x}.
\]

期望收益(expected payoff from the lottery function)

一个简单投机(lottery)行动\(a \in A\)，在结果区间\(X = [x_1, x_2, \cdots, x_n]\)上的期望收益函数：

\[
E[u(x)|a] = \sum_{k=1}^n p_k u(x_k) \\
where \\
u(x) \text{: the payoff function} \\
p = (p_1, p_2, \cdots, p_n) \text{: probability distribution}
\]

连续案例：期望收益(expected payoff from the lottery function)

一个简单投机(lottery)行动\(a \in A\)，在结果区间\(X = [\underline{x}, \overline{x}]\)上的期望收益函数：

\[
E[u(x) | a] = \int_{\underline{x}}^{\overline{x}} u(x)f(x)dx \\
where \\
u(x) \text{: the payoff function} \\
f(x|a) \text{: the cumulative distribution function}
\]

经济人2

我们称一个人是理性的，如果这个人选择最大期望收益。

\[
\text{choose } a^* \in A \iff v(a^*) = E[u(x)|a^*] \geq E[u(x)|a^*] = v(a), a \in A
\]

考虑次序和时间

逆向归纳法(backward induction)

或者称为动态编程(dynamic programming)。

就是说在连续的随机案例下，从后向前，每个简单的投机，

都使用最大期望收益推算其投机行为，作为投机的计算行为，向前计算。

折扣合计期望(discounted sum of future payoffs)

\[
v(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{t=1}^{T} \delta^{t-1} u(x_t) \\
where \\
T \text{: period} \\
u(x) \text{: the payoff function of outcome x} \\
\]

风险态度

中立风险 - risk neutral

认为同样期望回报的价值相同。

厌恶风险 - risk averse

倾向于一个确定性的回报，不愿意采用一个拥有同样期望回报的不确定性方案。

喜爱风险 - risk loving

更严格地倾向于采用拥有同样期望回报的赌注。

参照

Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)

读书笔记: 博弈论导论 - 01 - 单人决策问题