向量积

向量积（cross product）在中文中又被称为外积、叉积、矢积、叉乘。从英文中可以看到，叉乘或者叉积更符合直译标准。在学习的时候，就没有完全的数学描述，有时间看一下原版的线性代数书籍，弄的更严谨一些。直观描述一般都是通过图例来实现的，这里就不免俗了，毕竟存在的就是合理的。

直观描述

所谓图例说明，也就是用二维或者三维空间的东西来表示通用的概念。那么我们看下图。



如图所示，三维空间中，向量a、b，夹角是θ，则向量积a×b的结果为一个向量，该向量的模为:

|a×b|=|a||b|sinθ

向量的方向遵守“右手定则”，即四指延向量积第一向量向第二向量劣角（小于180度的角）方向旋转，拇指伸直方向即为结果向量方向。上图中给出了a×b和b×a的结果向量，可见二者模相同，方向相反。

数学描述

用一般化数学语言描述向量积，以三维空间为例，设在三个坐标轴上的单位向量分别为i、j、k，向量a表达式为（x，y，z），向量b的表达式为（p，q，r），则向量积可以表示为以下行列式的形式。

a×b=∣∣∣∣ixpjyqkzr∣∣∣∣

对于二维空间（平面）上的向量，在计算向量积时，需要将其扩展到三维空间（即第三维补0），即可应用以上公式计算。

向量积的性质

模：三维空间中，向量积的模即为两个向量组成平行四边形的面积。

代数规则：

反交换律：a×b=-b×a

加法分配率：a×(b+c) = a×b+a×c

兼容标量乘法：(ra)×b = a×(rb) = r(a×b)

雅可比恒等式：a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b) = 0

拉格朗日公式：(a×b)×c = b(a∙c)-a(b∙c) ; a×(b×c) = b(a∙c)-c(a∙b)