方程求根（二分法和牛顿迭代法）

一、实验内容

以方程：x3-0.2x2-0.2x-1.2=0为例，编写程序求方程的根

编写二分法、迭代法、牛顿法程序，分析运行结果

二、代码（python）

import matplotlib.pyplot as plt

#计算原函数值
def compute_function_value(x):
return x**3-0.2*(x**2)-0.2*x-1.2

#计算迭代式的值
def compute_iteration_value(x):
return -0.05*(x**3)+0.01*(x**2)+1.01*x+0.06

#计算牛顿迭代式的值
def compute_newton_iteration_value(x):
return x-(x**3-0.2*(x**2)-0.2*x-1.2)/(3*(x**2)-0.4*x-0.2)

#用零点定理判断区间是否有根
def zero_theorem(x1,x2):
r=(compute_function_value(x1)*compute_function_value(x2))
if(r<=0):
return True
else:
return False
'''
二分法
a：左区间
b：右区间
cache_x:缓存每次迭代的x值
epslion:精度
'''
def dichotomy(a,b,cache_x,epslion):
k=1
while((b-a)>=epslion or k==1):
mid=(a+b)/2.0
cache_x.append(mid)
if(compute_function_value(mid)*compute_function_value(b)<0):
a=mid
else:
b=mid
k=k+1
return mid
'''
迭代法
x0：初值
cache_x:缓存每次迭代的x值
epslion:精度
'''
def iterative_method(x0,cache_x,epslion):
cache_x.append(x0) #缓存初值
x1=compute_iteration_value(x0)   #计算迭代式的值并赋给x1
cache_x.append(x1) #缓存
#判断，不满足精度则循环
while(abs(x1-x0)>epslion):
x0=x1
x1=compute_iteration_value(x0)
cache_x.append(x1)
return x1  #返回最后结果

#牛顿迭代法
def newton_iterative_method(x0,cache_x,epslion):
cache_x.append(x0) #缓存初值
x1=compute_newton_iteration_value(x0)   #计算牛顿迭代式的值并赋给x1
cache_x.append(x1) #缓存
#判断，不满足精度则循环
while(abs(x1-x0)>epslion):
x0=x1
x1=compute_newton_iteration_value(x0)
cache_x.append(x1)
return x1  #返回最后结果

#主控程序
def main():
cache_x=[]  #保存x的每次的值，以便绘图
a=float(input("Please enter the left interval a:"))  #输入左区间a
b=float(input("Please enter the left interval b:"))  #输入右区间b
#有根情况
if(zero_theorem(a,b)):
#选择菜单
choose=int(input("There are three methods now: \n\
1 : dichotomy\n\
2 : iterative_method\n\
3 : newton_iterative_method\nPlease choose one method(use number):"))
epslion=float(input("please enter the epslion:"))  #输入精度
#各种选择情况
if(choose==1):
x1=dichotomy(a,b,cache_x,epslion)
elif(choose==2):
x0=float(input("please enter the initial value x0:"))
x1=iterative_method(x0,cache_x,epslion)
else:
x0=float(input("please enter the initial value x0:"))
x1=newton_iterative_method(x0,cache_x,epslion)
#绘图
plt.plot(cache_x,'or')
plt.show()
print('approximate solutions:',x1)
else:    #无根情况
print('The equation has no root in the interval')

if __name__=='__main__':
main()

三、实验结果

同一精度（0.00000001）下：

二分法程序运行结果：



迭代法程序运行结果：



牛顿迭代法程序运行结果：



同一精度（0.00000001）下，初值对迭代法的影响：

四、感悟

无论选那种方法，都要首先进行有根区间的判断。

三者速度的比较（当精度要求为0.00000001时）：牛顿迭代法>二分法>迭代法

迭代法中迭代式的选取一定要满足其求导后的绝对值在区间内恒小于1。

当不好找迭代式时，可以采用待定系数法来求迭代式，即如图：



不同的初值对迭代法的影响非常大，如实验所示，当初值取为1.2时只要迭代一次，而取1.5时则迭代70多次。所以取初值时，可以采用二分法取得一个好的初值，在迭代。

python在科学计算领域还是比较好用的，且matplotlib中的绘图工具能可视化的输出迭代结果，能更好的进行错误纠正及展示。