NKOJ 2266 (HNOI 2013)游走(高斯消元+数学期望)
2017-12-18 18:57
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P2266【HNOI2013 DAY2】游走
问题描述一个无向连通图,顶点从1 编号到N,边从1 编号到M。小Z 在该图上进行随机游走,初始时小Z 在1 号顶点,每一步小Z 以相等的概率随机选择当前顶点的某条边,沿着这条边走到下一个顶点,获得等于这条边的编号的分数。当小Z到达N 号顶点时游走结束,总分为所有获得的分数之和。现在,请你对这M 条边进行编号,使得小Z 获得的总分的期望值最小。
输入格式
第一行是正整数N和M,分别表示该图的顶点数和边数,接下来M行每行是整数u,v(1≤u,v≤N),表示顶点u与顶点v之间存在一条边。
输入保证30%的数据满足N≤10,
100%的数据满足2≤N≤500, 1<=M<=150000且是一个无向简单连通图。
输出格式
仅包含一个实数,表示最小的期望值,保留3 位小数。
样例输入 1
3 3
2 3
1 2
1 3
样例输出 1
3.333
样例输入 2
5 10
1 2
1 3
1 4
1 5
2 3
2 4
2 5
3 4
3 5
4 5
样例输出 2
17.800
显然的需要求出每条边的期望经过次数,假设这条边两端是x,y,那么有E[i]=E[x]D[x]+E[y]D[y],其中i表示一条边,E表示经过次数的期望,D表示节点的度。证明是显然的。
那么只需要求出每个点经过次数的期望,那么显然将E[x]当作未知数来寻找关系。
对于起点一号点,有E[1]=1+∑E[t]D[t],t是与1相连的点,且不是终点,对于其他点,只需要不加1即可。然后高斯消元。
代码:
#include<stdio.h> #include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> #define N 555 #define M 200005 using namespace std; struct node{int a,b;double c;}e[M]; bool cmp(node a,node b) {return a.c>b.c;} int n,m,D ; bool G ; double A ,X ; void Gauss(int row,int col) { int i,j,x,y,MR;double t; for(x=1,y=1,MR=1;x<=row&&y<col;x++,y++,MR=x) { for(i=x+1;i<=row;i++)if(abs(A[i][y])>abs(A[MR][y]))MR=i; if(MR!=x)for(i=1;i<=col;i++)swap(A[x][i],A[MR][i]); if(!A[x][y]){x--;continue;} for(i=x+1;i<=row;i++) if(A[i][y]) { t=A[i][y]/A[x][y]; for(j=y;j<=col;j++)A[i][j]-=A[x][j]*t; } } for(i=row;i>=1;i--) { X[i]=A[i][col]; for(j=i+1;j<col;j++)X[i]-=X[j]*A[i][j]; X[i]/=A[i][i]; } } int main() { int i,j,x,y;double ans=0; scanf("%d%d",&n,&m); for(i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d",&x,&y); G[x][y]=G[y][x]=1; e[i].a=x;e[i].b=y; D[x]++;D[y]++; } for(i=1;i<n;i++)A[i][i]=1.0; for(i=1;i<n;i++) for(j=1;j<n;j++) if(i!=j&&G[i][j])A[i][j]=-1.0/D[j]; A[1] =1;Gauss(n-1,n); for(i=1;i<=m;i++) { x=e[i].a;y=e[i].b; if(x!=n)e[i].c+=1.0*X[x]/(1.0*D[x]); if(y!=n)e[i].c+=1.0*X[y]/(1.0*D[y]); } sort(e+1,e+m+1,cmp); for(i=1;i<=m;i++)ans+=1.0*i*e[i].c; printf("%.3lf",ans); }
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