01背包

01背包

问题描述

01背包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一个容量为V的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

==问题特点：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。==

算法简析

子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。

状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

方程有两种情况

第一种是第i件不放进去，这时所得价值为:f[i-1][v]

第二种是第i件放进去，这时所得价值为：== f[i-1][v-c[i]]==+w[i]

(第二种是什么意思？就是如果第i件放进去，那么在容量v-c[i]里就要放进前i-1件物品)

最后比较第一种与第二种所得价值的大小，哪种相对大，f[i][v]的值就是哪种。

(这是基础，要理解!)

算法步骤

描述一个最优解的结构

递归地定义最优解的值；

以“自底向上”的方式计算最优解的值；

从已计算的信息中构建出最优解的路径。

其中步骤1~3是动态规划求解问题的基础。如果题目只要求最优解的值，则步骤4可以省略。

二维数组实现

for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=m;j++)
{
if(j>=w[i])
{
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]);
}
else
{
f[i][j]=f[i-1][j];
}
}
}

f[i][j]为所求最大值

显然用如上二维数组的方法浪费了大量的内存空间

我们仔细分析转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 会发现我们每次仅仅使用到了f[i-1][]的列表

也就是说对于往后的推断f[0…i-2]都是可以被覆盖的。希望读者在此独立思考3分钟

==逆序==

是的，我们只要逆序就可以将二维数组降低到一维空间来反复利用

//得记得全部初始化为0
for i=1..N
forv=V..0
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

练习题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602