算法系列——二分查找算法及其变体总结
2017-12-18 00:07
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基础二分查找
基本二分查找的程序代码如下所示int left = 0; int right = nums.length - 1; int mid; //条件必须是 <= while (left <= right) { mid = (left + right) / 2; //target 在左边 if (target < nums[mid]) right = mid - 1; //target 在右边 else if (target > nums[mid]) left = mid + 1; else return mid; } return -1;
基础二分查找只能找到指定target在序列中的位置,假如target有重复值,二分查找只能返回其中某个target的位置,这个位置并不确定,主要跟target值的起始位置和重复序列的长度有关系。
二分查找变体
在基础二分查找的代码中,加入在while循环中不执行返回退出操作,判断条件做稍微改动,其实只是去掉了返回操作,只剩一个if-else判断。//target 在左边 if (target < nums[mid]) right = mid - 1; //target 在右边 else left = mid + 1;
那么最终 left,right关系是 right+1=left.
举个栗子,例如 nums={ 1,2,3,3,3,3,4,5 } target=3
当 判断条件为
if (target <= nums[mid]) ... else时,最终位置状态为
1,2(right),3(left),3,3,3, 4,5
right left的位置卡在target序列的左边界。
当判断条件为
if (target < nums[mid]) ... else时,最终位置状态为
1,2,3,3,3,3(right),4(left),5
right left的位置卡在target序列的右边界。
那么假如target不存在呢?比如 nums={1,2,4,5} target=3
当 判断条件为
if (target <= nums[mid]) ... else时,最终位置状态为
1,2(right),4(left),5
当判断条件为
if (target < nums[mid]) ... else时,最终位置状态为
1,2(right),4(left),5
从以上的分析中可以看到,left,right 总是停留在target元素的附近,并且还有一定的规律。
其实根据不同的条件下left,right位置信息,我们可以利用二分查找还能能解决以下6个问题:
返回第一个=target的元素位置,此时判断符号<= 要返回left;
返回第一个>=target的元素位置,此时判断符号<= 要返回left;
返回第一个>target的元素位置,此时判断符号<要返回left;
返回最后一个=target的元素位置,此时判断符号<,要返回right;
返回最后一个<=target的元素位置,此时判断符号位<,返回right;
返回最后一个< target的元素位置,此时判断符号位<=,返回right。
以上问题都可以套用如下二分查找的结构:
···· //条件必须是 <= while (left <= right) { mid = left + (right-left) / 2; //target 在左半部分 if (target ➀ nums[mid]) right = mid - 1; //target 在右边部分 else if (target > nums[mid]) left = mid + 1; } ... return ➁;
➀ 所在位置的比较符号要么是< 要么是<=
➁ 位置要么是 left要么是right.
下表给出六种情况下➀➁处的取值。
问题 | ➀处符号 | ➁处值 |
---|---|---|
返回第一个=target | <= | left |
返回第一个>=target的元素位置 | <= | left |
返回第一个>target的元素位置 | < | left |
返回最后一个=target的元素位置 | < | right |
返回最后一个<=target的元素位置 | < | right |
返回最后一个< target的元素位置 | <= | right |
如何记忆
那么如果我们碰到以上6种情况,但没表可以查怎么办,其实也比较好解决,首先程序结构要按以上给出的结构来写,那么根据问题,确定出问题在哪一种种判断条件下才能取得结果,是< 还是 <= ,其次确定出 应该返回left 还是right.
比如要求 第一个大于> target的元素位置,那right left 必定卡在 target序列的右边界,此时判断条件只能是 <,并且 应该返回 left。
程序实现
下面给出所有情况的具体程序实现,实际运用时要弄懂问题要求,再按照具体情况给出不同的解答。public class Solution { /** * 基础二分查找 * * @param nums * @param target * @return */ public int binarySearch(int[] nums, int target) { int left = 0; int right = nums.length - 1; int mid; //条件必须是 <= while (left <= right) { mid = left + (right-left) / 2; //target 在左边 if (target > nums[mid]) right = mid - 1; //target 在右边 else if (target < nums[mid]) left = mid + 1; else return mid; } return -1; } //----------以下是二分查找的6种变体情况------------- // nums={ 1,2(right),3(left),3,3,3(right) 4(left),5 } target=3 // nums={1,2(right),4(left),5} target=3 //1. first =(left(<=)) >=(left(<=)) >(left(<)) //2. last =(right(<)) <=(right(<)) <(right(<=)) /** * 找第一个大于target的元素位置 符号必须是< * * @param nums * @param target * @return */ public int findFirstGreater(int[] nums, int target) { int left = 0; int right = nums.length - 1; int mid; //条件必须是 <= while (left <= right) { mid = left + (right-left) / 2; //target 在左边 if (target < nums[mid]) right = mid - 1; //target 在右边 else left = mid + 1; } return left; } /** * 查找第一个大于等于target的元素位置 符号是<= 保证 left有指向target的机会 * * @param nums * @param target * @return */ public int findFirstGreaterEqual(int[] nums, int target) { int left = 0; int right = nums.length - 1; int mid; //条件必须是 <= while (left <= right) { mid = left + (right-left) / 2; //target 在左边 条件是 target> nums[mid] if (target <= nums[mid]) right = mid - 1; //target 在右边 else left = mid + 1; } return left; } /** * 查找第一个等于target的元素位置 符号是<= * * @param nums * @param target * @return */ public int findFirstEqual(int[] nums, int target) { int left = 0; int right = nums.length - 1; int mid; //条件必须是 <= while (left <= right) { mid = left + (right-left) / 2; //target 在左边 if (target <= nums[mid]) right = mid - 1; //target 在右边 else left = mid + 1; } //判断边界 if (left < nums.length && nums[left] == target) return left; return -1; } /** * 查找最后一个=target的元素位置 符号是< * * @param nums * @param target * @return */ public int findLastEqual(int[] nums, int target) { int left = 0; int right = nums.length - 1; int mid; //条件必须是 <= while (left <= right) { mid = left + (right-left) / 2; //target 在左边 if (target < nums[mid]) right = mid - 1; //target 在右边 else left = mid + 1; } if (right >= 0 && nums[right] == target) return right; return -1; } /** * 查找最后一个<target的元素位置 <= * * @param nums * @param target * @return */ public int findLastLess(int[] nums, int target) { int left = 0; int right = nums.length - 1; int mid; //条件必须是 <= while (left <= right) { mid = left + (right-left) / 2; //target 在左边 if (target <= nums[mid]) right = mid - 1; //target 在右边 else left = mid + 1; } return right; } /** * 查找最后一个<=target的元素位置 < * * @param nums * @param target * @return */ public int findLastLessEqual(int[] nums, int target) { int left = 0; int right = nums.length - 1; int mid; //条件必须是 <= while (left <= right) { mid = left + (right-left) / 2; //target 在左边 if (target < nums[mid]) right = mid - 1; //target 在右边 else left = mid + 1; } return right; } }
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