bzoj 4591: [Shoi2015]超能粒子炮·改 Lucas定理+组合数学

题意

曾经发明了脑洞治疗仪&超能粒子炮的发明家SHTSC又公开了他的新发明：超能粒子炮·改–一种可以发射威力更加强大的粒子流的神秘装置。超能粒子炮·改相比超能粒子炮，在威力上有了本质的提升。它有三个参数n，k。它会向编号为0到k的位置发射威力为C(n,k) mod 2333的粒子流。现在SHTSC给出了他的超能粒子炮·改的参数，让你求其发射的粒子流的威力之和模2333。

k<=n<=10^18，t<=10^5

分析

题目就是要求(∑ki=0Cin)mod2333。由于模数很小不难想到Lucas定理Cmnmodp=Cm/pn/p∗Cmmodpnmodp。

按照i/p来分类，要求的式子就变成了∑i=0kCin=∑i=0kCi/pn/p∗Cimodpnmodp=∑i=0k/p−1Cin/p∗∑j=0p−1Cjnmodp+Ck/pn/p∗∑i=0kmodpCinmodp

至于∑i=0k/p−1Cin/p可以递归处理，其余两个∑直接预处理即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int MOD=2333;

int c[MOD][MOD],s[MOD][MOD];

int get_c(LL n,LL m)
{
if (n<m) return 0;
if (!n) return 1;
return get_c(n/MOD,m/MOD)*c[n%MOD][m%MOD]%MOD;
}

int solve(LL n,LL k)
{
if (k<0) return 0;
if (!n) return 1;
return (solve(n/MOD,k/MOD-1)*s[n%MOD][MOD-1]+get_c(n/MOD,k/MOD)*s[n%MOD][k%MOD])%MOD;
}

int main()
{
c[0][0]=1;
for (int i=1;i<MOD;i++)
{
c[i][0]=1;
for (int j=1;j<=i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%MOD;
}
for (int i=0;i<MOD;i++)
{
s[i][0]=1;
for (int j=1;j<MOD;j++) s[i][j]=(s[i][j-1]+c[i][j])%MOD;
}
int T;scanf("%d",&T);
while (T--)
{
LL n,k;
scanf("%lld%lld",&n,&k);
printf("%d\n",solve(n,k));
}
return 0;
}