bzoj2734 [HNOI2012]集合选数（状压DP）

bzoj2734 [HNOI2012]集合选数

原题地址：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2734

题意：

对于任意一个正整数 n，如何求出{1, 2,…, n} 的满足：

“若 x 在该子集中，则 2x 和 3x 不能在该子集中”的子集的个数（只需输出对 1,000,000,001 取模的结果）。

数据范围

n≤100000

题解：

神题。

首先，它的约束条件不是2x,3x,4x…而只是2x，3x。

为什么只有两个且偏偏是互质的两个数呢？

因为它可以充当两个base来构造一个矩形：

x2x4x8x16x⋮3x6x12x24x⋯9x18x36x⋱27x⋮⋯

那么这个矩形的相邻两个数不能同时选。

注意到矩形最多只有18行11列，那么就转化成了一个很经典的状压DP了。

当然一个矩形没有包含完所有的数，取下一个没有包含的数再构造矩形，以此类推…矩形规模不断减小。

各个矩形的答案相乘就是最终答案。

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=1000000001;
const int M=(1<<18)+5;
const int N=100005;
int n,ans=0,ok[M],R,C;
int f[20][20],dp[20][M],lim[20],po[20];
bool vis
;
inline int getans(int x)
{
memset(lim,0,sizeof(lim));
f[1][1]=x; R=1;C=1; vis[x]=1;
while(f[1][C]*3<=n) {f[1][C+1]=f[1][C]*3; C++; vis[f[1][C]]=1;}
while(f[R][1]*2<=n) {f[R+1][1]=f[R][1]*2; R++; vis[f[R][1]]=1;}
lim[1]=C;
for(int i=2;i<=R;i++) for(int j=2;j<=C;j++)
{
f[i][j]=f[i][j-1]*3;
if(f[i][j]>n){f[i][j]=n+1; break;}
vis[f[i][j]]=1; lim[i]=j;
}
for(int i=1;i<=R;i++) if(!lim[i]) lim[i]=1;
int top=(1<<lim[1]);
for(int i=0;i<top;i++) if(ok[i]) dp[1][i]=1; else dp[1][i]=0;
for(int i=2;i<=R;i++)
{
int lt=top; top=(1<<lim[i]); for(int j=0;j<=top;j++) dp[i][j]=0;
for(int s=0;s<lt;s++)
if(dp[i-1][s])
{
for(int t=0;t<top;t++)
{
if(ok[t]&&((t&s)==0))
dp[i][t]=(dp[i][t]+dp[i-1][s])%mod;
}
}
}
int ans=0;
for(int i=0;i<top;i++) ans=(ans+dp[R][i])%mod;
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<M;i++) if(i&(i<<1)) ok[i]=0; else ok[i]=1;
for(int i=0;i<=18;i++) po[i]=1<<i;
int ret=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(!vis[i])
{
int ans=getans(i);
ret=(1LL*ret*ans)%mod;
}
}
printf("%d\n",ret);
return 0;
}