LCS算法：最长公共子序列

LCS算法：最长公共子序列定义：

一个序列A任意删除若干个字符得到新序列B，则A叫做B的子序列

两个序列X和Y的公共子序列中，长度最长的那个，定义为X和Y的最长公共子序列

例如：

X={A,B,C,B,D,A,B}
Y={B,D,C,A,B,A}
则它们的lcs分别是
{B,C,B,A}
{B,D,A,B}。
求出一个即可。
LCS的

LCS算法符号表示：

字符串X,长度m,从1开始计数
字符串Y,长度n,从1开始计数
Xi=<x1,x2,...,xi>表示X序列的前i个字符(1<=i<=m)
Yj=<y1,y2,...,yj>表示Y序列的前j个字符(1<=j<=n)
LCS(X,Y)为字符串X和Y的最长公共子序列
其中的一个解为Z=<z1,z2,....zk>
注意:LCS(X,Y)其实为一个集合
Z为一个解

用递归的思想去做的话，就从大到小从后往前推

队列X=    A,B,C,B,D,A,B
队列Y=      B,D,C,A,B,A
栈A={}
共有两种情况：
1、最后一位相同：{
①、X尾去一位，再重新和Y比较
②、Y尾去一位，再重新和X比较
}
2、最后一位相同：
X、Y分别尾去一位（入栈，最后出栈就是答案），再重新X和Y比较

用动态规划的思想去做，从小到大从前往后推

规则：相同的取左上加1,不同取上和左中的最大值

推导结果如下：



最右下角的值就是答案；

代码实现：
/**
* 计算最长公共子序列
* @param strx
* @param stry
* @return 最长公共子序列的长度
*/
public static int lcs(String strx,String stry){
int row=strx.length()+1;
int col=stry.length()+1;
char[] cx=strx.toCharArray();
char[] cy=stry.toCharArray();
int[][] arrays=new int[row][col];
//使用动态规划的方式填入数据
for (int i = 1; i < arrays.length; i++) {
for (int j = 1; j < arrays[i].length; j++) {
int max=0;
if(cx[i-1]!=cy[j-1]){
max=Math.max(arrays[i-1][j], arrays[i][j-1]);
}else{
max=arrays[i-1][j-1]+1;
}
arrays[i][j]=max;
}
}
//打印
for (int i = 0; i < arrays.length; i++) {
for (int j = 0; j < arrays[i].length; j++) {
System.out.print(arrays[i][j]+" ");
}
System.out.println();
}
printLCS(cx,cy,arrays);
return arrays[row-1][col-1];
}
程序运行结果：

0   0   0   0   0   0   0
0   0   0   0   1   1   1
0   1   1   1   1   2   2
0   1   1   2   2   2   2
0   1   1   2   2   3   3
0   1   2   2   2   3   3
0   1   2   2   3   3   4
0   1   2   2   3   4   4

打印答案的话需要回溯处理：

从最后一位回溯：

1、如果i和j 对于的char 不相同，则选上、中最大那个方向走
如果都一样就代表有多个答案，每个方向就是一个答案，方向：i-1和j   或者  i和j -1

2、如果i和j 对于的char 相同，则就把相应的char入栈，方向：i和j 都分别减一

一直重复1、2操作到轮询结束，打印栈就是答案。

例如：i=7,j=6  value[i][j]=4，4的上、左最大为4，那么尝试从上走（绿色）·····
栈={A,B,C,B}
打印结果：
B,C,B,A

i=7,j=6  value[i][j]=4，4的上、左最大为4，那么尝试从左走（紫色）·····
栈={B,A,D,B}
打印结果：B,D,A,B

推导结果如下：

代码实现：
/**
* 打印最长公共子序列
* @param arrays
*/
public static void printLCS(char[] cx,char[] cy,int[][] arrays){
Stack<String> stack =new Stack<>();
int row=arrays.length-1;
int col=arrays[0].length-1;
while(row>0&&col>0){
if(cx[row-1]!=cy[col-1]){
if(arrays[row-1][col]>=arrays[row][col-1]){
row-=1;
}else if(arrays[row-1][col]<arrays[row][col-1]){
col-=1;
}
}else{
stack.push(cx[row-1]+"");
row-=1;
col-=1;
}
}
while(!stack.isEmpty()){
System.out.print(stack.pop()+"  ");
}
}

程序运行结果：

B   C   B   A

LCS的应用:

相似度的比较:计算生物学DNA对比(亲子验证)，百度云盘找非法数据(岛国片)

图形相似处理,媒体流的相似比较,百度知道,百度百科，WEB页面中找非法言论等