2017noip提高组复赛day1小凯的疑惑题解

      ①题目

◆描述

小凯手中有两种面值的金币，两种面值均为正整数且彼此互素。每种金币小凯都有 无数个。在不找零的情况下，仅凭这两种金币，有些物品他是          无法准确支付的。现在小凯想知道在无法准确支付的物品中，最贵的价值是多少金币？注意：输入数据保证存在小凯无法准确支付的商品。

◆输入

输入数据仅一行，包含两个正整数 a 和 b，它们之间用一个空格隔开，表示小凯手 中金币的面值。

◆输出

输出文件仅一行，一个正整数 N，表示不找零的情况下，小凯用手中的金币不能准确支付的最贵的物品的价值。

◆样例输入

3 7

1

◆样例输出

11

1

◆样例说明

小凯手中有面值为3和7的金币无数个，在不找零的前提下无法准确支付价值为1、 2、4、5、8、11 的物品，其中最贵的物品价值为 11，比 11 贵        的物品都能买到，比如： 

12=3×4+7×0 

13=3×2+7×1 

14=3×0+7×2 

15=3×5+7×0

◆数据范围与约定

对于 30%的数据： 1≤a,b≤50。 

对于 60%的数据： 1≤a,b≤104。 

对于 100%的数据：1≤a,b≤109 。

②涉及数学知识补充：

◆同余于(≡)：https://wapbaike.baidu.com/item≡/8148854?fr=aladdin&anchor=4#4（ps:a≡m(mod b)等价于a=kb+m）

◆剩余类：https://tieba.baidu.com/p/4259761686?referer=m.baidu.com&pn=0&

◆完全剩余系：https://wapbaike.baidu.com/item/完全剩余系/3712670?fr=aladdin

③解题思路

因为(a,b)=1，所以{0,a,2a,3a,...,(b−1)a}为模b的完全剩余系。 

设钱数为T，则T一定满足（因为{ka}为模b的完全剩余系）：T≡ka(mod b)，(0≤k≤b−1)。

若T≥ka，则T一定可以表示为ka+nb，（n≥0），所以T<0）则此时T最大为ka−b，

显然，当k最大时T最大，所以T=(b−1)a−b=ab−a−b。

④代码

#include

using namespace std;

int main()

{

   int long long a,b,t;

   cin>>a>>b;

   t=a*b-a-b;

   cout<<t;

   return 0;

}

⑤一题多解

  找规律：http://m.blog.csdn.net/nimabide_01/article/details/78756525

⑥编程的得与失

⒈主要考察数论吧，涉及到的数学成分比较浓…数论并不好，还是查了一下资料才弄出来的……

⒉如果放到考场中的话，要么暴力解，40分，要么找规律了吧，（以我目前水平）做出来的可能性不大。

⒊作为第一题，很有做不出来导致心理状态受影响，后面题目要稳住需要一定的心理素质（至少对我个人而言是需要的）

⒋考试时做20分钟没有算出公式的话就可以考虑放弃拿满分了，换一种思路，要么暴力要么找规律蒙一下可能会好点