工程计算7——函数逼近与曲线拟合

连续函数空间C[a,b]

定义

在区间[a,b]上连续函数的全体构成的集合

空间是无限维的

满足线性运算的封闭性

范数

||f(x)||∞=maxx∈[a,b]|f(x)|

||f(x)||1=∫ba|f(x)|dx

||f(x)||2=[∫baf2(x)dx]12

内积

离散：

(f,g)=∑mi=0wif(xi)g(xi)

||f||2=(f,f)−−−−−√=∑mi=0wi[f(xi)]2−−−−−−−−−−−−−√

连续

(f,g)=∫baρ(xi)f(xi)g(xi)dx

||f||2=(f,f)−−−−−√=∫baρ(xi)[f(xi)]2dx−−−−−−−−−−−−−−√

函数逼近

基本概念

定义

在选定的一类函数中寻找某个函数g，使它是已知函数ƒ在一定意义下的近似表示，使得用g近似表示 ƒ而产生的误差最小。

分类

∞范数：最佳一致逼近

1范数、2范数

曲线之间的面积最小

2范数：最佳平方逼近和最小二乘逼近

连续函数的最佳平方逼近

定义



求解S∗(x)





存在唯一性

最佳平方逼近多项式

可能出现病态方程

适用于低次函数逼近

用正交基求最佳平方逼近

由于正交基的性质，G矩阵只有对角元不为0

a∗k=(ϕk,f)/(ϕk,ϕk)



例：用勒让德多项式来求函数f=1+x2−−−−−√ x∈[−1,1]的逼近函数g

double g(int k,double v)
{
if(k == 0) return 1;
else if(k == 1) return v;
else return (3 * v * v - 1) / 2.0;
}
double f(double x)
{
return sqrt(x * x + 1);
}
double gf(int k)
{
double s = 0;
int nn = 10000;
double begin_ = -1;
for(int i = 0;i < nn; i++)
{
s += g(k,begin_) * f(begin_) * (2.0 / (nn * 1.0));
begin_ += (2.0 / (nn * 1.0));
}
return s;
}
double gg(int k)
{
double s = 0;
int nn = 1000;
double begin_ = -1;
for(int i = 0;i < nn; i++)
{
s += g(k,begin_) * g(k,begin_)  * (2.0 / (nn * 1.0));
begin_ += (2.0 / (nn * 1.0));
}
return s;
}
void Compute_AB()
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
A[i] = gg(i);
}
for(int i = 0; i < n; i++)
{
B[i] = gf(i);
}
}

曲线拟合的最小二乘法（离散）

定义

已知函数值表(xi,yi)，在函数空间ϕ求解S∗(x)，使得∑mi=0wi[S∗(xi)−yi]2=mins(x)∈ϕ∑mi=0wi[S(xi)−yi]2

求解

与连续函数得到一样的法方程

只是(ϕk,f)的计算方式不同。参考内积的离散和连续形式。

三项递推公式



用三项递推公式来拟合一下5个点

x	0	0.25	0.5	0.75	1
y	0.1	0.35	0.81	1.09	1.96

double f(double k,double v)
{
if(k == 0) return 1;
else if(k == 1) return v - 0.5;
else return (v - 0.5) * (v - 0.5) - 0.125;
}
void Compute_B()
{
double s;
for(int i = 0; i < n; i++)
{
s = 0;
for(int j = 0; j < m; j++)
{
s += f(i , x[j]) *  y[j];
}
B[i] = s;
}
}
void Compute_A()
{
double s;
for(int i = 0; i < n; i++)
{
s = 0;
for(int j = 0;j < m;j++)
{
s += f(i,x[j]) * f(i,x[j]);
}
A[i] = s;
}
}