leetcode 483. Smallest Good Base 最小基数使为1 + 二分查找

For an integer n, we call k>=2 a good base of n, if all digits of n base k are 1.

Now given a string representing n, you should return the smallest good base of n in string format.

Example 1:

Input: “13”

Output: “3”

Explanation: 13 base 3 is 111.

Example 2:

Input: “4681”

Output: “8”

Explanation: 4681 base 8 is 11111.

Example 3:

Input: “1000000000000000000”

Output: “999999999999999999”

Explanation: 1000000000000000000 base 999999999999999999 is 11.

Note:

The range of n is [3, 10^18].

The string representing n is always valid and will not have leading zeros.

本题题意很简单，就是寻找最小的base使结果都是1，那么这个需要使用数学知识，下面是网上的做法：

如果我们用k表示基数，m表示转为全1数字的位数，那么数字n就可以拆分为：

n = 1 + k + k^2 + k^3 + … + k^(m-1)

这是一个等比数列，中学数学的内容吧，利用求和公式可以表示为 n = (k^m - 1) / (k - 1)。我们的目标是求最小的k，那么仔细观察这个式子，在n恒定的情况，k越小则m却大，那么就是说上面的等式越长越好。下面我们来分析m的取值范围，题目中给了n的范围，是[3, 10^18]。那么由于k至少为2，n至少为3，那么肯定至少有两项，则m>=2。那么m的上限该如何求？其实也不难，想要m最大，那么k就要最小，k最小是2，那么m最大只能为log2(n + 1)，数字n用二进制表示的时候可拆分出的项最多。但这道题要求变换后的数各位都是1，那么我们看题目中最后一个例子，可以发现，当k=n-1时，一定能变成11，所以实在找不到更小的情况下就返回n-1。

下面我们来确定k的范围，由于k至少为2，那么我们可以根据下面这个不等式来求k的上限：

n = 1 + k + k^2 + k^3 + … + k^(m-1) > k^(m-1)

解出k < n^(1 / (m-1))，其实我们也可以可以通过n < k^m - 1 来求出k的准确的下限，但由于是二分查找法，下限直接使用2也没啥问题。分析到这里，那么解法应该已经跃然纸上了，我们遍历所有可能的m值，然后利用二分查找法来确定k的值，对每一个k值，我们通过联合m值算出总和sum，然后跟n来对比即可，

代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <string>
#include <climits>
#include <algorithm>
#include <sstream>
#include <functional>
#include <bitset>
#include <numeric>
#include <cmath>

using namespace std;

class Solution
{
public:
string smallestGoodBase(string n)
{
long long num = stol(n);
for (int i = log(num + 1) / log(2); i >= 2; --i)
{
long long left = 2, right = pow(num, 1.0 / (i - 1)) + 1;
while (left < right)
{
long long mid = left + (right - left) / 2, sum = 0;
for (int j = 0; j < i; ++j)
{
sum = sum * mid + 1;
}
if (sum == num)
return to_string(mid);
else if (sum < num)
left = mid + 1;
else
right = mid;
}
}
return to_string(num - 1);
}
};